Geometri med Passer og Lineal vs. Geometri med Papirfoldning: Hvad er Forskellen?
Vi kender alle til geometri fra skolen. Ofte bruger vi en passer og en lineal til at tegne figurer som trekanter, kvadrater og cirkler. Denne form for geometri kaldes euklidisk geometri – opkaldt efter den gamle græske matematiker Euklid, der for over 2000 år siden lavede et system med regler for geometriske konstruktioner.
Men vidste du, at den gamle kunst at folde papir, kendt som Origami, også er en form for geometri? Og at Origami faktisk er endnu stærkere end geometri med passer og lineal? Lad os se på forskellene.
Hvad kan man med Passer og Lineal?
I euklidisk geometri har du to simple værktøjer:
- En lineal uden mål: Den kan kun bruges til at tegne en helt lige linje mellem to punkter, du allerede har. Du kan ikke måle med den.
- En passer: Den kan bruges til at tegne en cirkel omkring et punkt med en bestemt afstand (radius).
Med disse to værktøjer kan du bygge en masse geometriske figurer. Du kan for eksempel:
- Tegne en linje mellem to punkter.
- Tegne en cirkel ud fra et centrum og et punkt.
- Finde skæringspunkter mellem linjer og cirkler.
- Konstruere midten af en linje.
- Konstruere en vinkelret linje.
- Dele en vinkel i to lige store dele (halvere en vinkel).
Passer- og lineal-konstruktioner svarer til at kunne løse bestemte typer af matematiske problemer, der kan beskrives med ligninger.
Men der er også ting, du ikke kan med passer og lineal, uanset hvor dygtig du er.
Hvad kan man med Origami (Papirfoldning)?
Nogle kendte eksempler er:
- At dele en vilkårlig vinkel i tre lige store dele.
- At "fordoble en terning", altså at konstruere siden på en terning, der har præcis dobbelt så stort rumfang som en given terning.
- At konstruere visse regelmæssige polygoner (figurer med lige lange sider og lige store vinkler). For eksempel kan du ikke konstruere en helt præcis, regelmæssig 7-kant (heptagon) eller en regelmæssig 9-kant (nonagon) kun ved brug af passer og lineal.
Disse opgaver kræver løsninger på mere komplicerede ligninger, end passer og lineal kan klare.
Matematisk Origami, er geometri, hvor det eneste "værktøj" er et stykke papir, som du folder. I stedet for regler for tegning har Origami regler for foldning, der kaldes aksiomer. Der findes forskellige sæt af disse regler, men et meget almindeligt sæt består af syv grundlæggende foldninger.
Disse Origami-foldninger tillader dig også at konstruere punkter og linjer på papiret. De første foldninger er ret simple og svarer til mange af de ting, du kan med passer og lineal. For eksempel kan du folde en linje gennem to punkter, folde et punkt oven på et andet, eller folde en linje oven på en anden (hvilket kan bruges til at halvere en vinkel). Det betyder, at alle konstruktioner, der er mulige med passer og lineal, også er mulige at lave med Origami!
Men Origami har en særlig kraftfuld foldning (ofte kaldt den sjette aksiom). Denne foldning tillader dig at folde to bestemte punkter, så de samtidig lander på to bestemte linjer. Denne ene foldning åbner døren til at løse meget sværere geometriske problemer.
De Konkrete Forskelle – Hvad Origami kan, som Passer og Lineal ikke kan:
Fordi den kraftfulde Origami-foldning svarer til at kunne løse mere komplicerede matematiske ligninger – faktisk ligninger af tredje grad, i modsætning til passer og lineals ligninger af anden grad – kan Origami løse de problemer, der er umulige med passer og lineal:
- Dele en Vinkel i Tre: Med Origami er det muligt at folde en vilkårlig vinkel i præcis tre lige store dele. Der findes bestemte foldeteknikker til dette.
- Fordoble en Terning: Du kan folde papir på en måde, så du konstruerer den præcise sidelængde, en terning med dobbelt rumfang skal have. Dette er muligt med Origami.
- Konstruere Visse Umulige Polygonformer: Med Origami er det muligt at konstruere en regelmæssig 7-kant og en regelmæssig 9-kant, som er umulige at lave præcist med passer og lineal. Matematikere har fundet foldeteknikker til disse figurer.
Origami kan altså mere?
Selvom euklidisk geometri med passer og lineal er en vigtig og grundlæggende del af matematikken, viser studiet af matematisk origami, at papirfoldning faktisk er et kraftigere værktøj til geometriske konstruktioner, fordi det kan behandle flere matematiske operationer. Origami kan alt det, passer og lineal kan, plus lidt mere, herunder at løse klassiske uløselige problemer som vinkeldeling og terningens fordobling, samt at konstruere polygoner som 7-kanten. Det er et fascinerende eksempel på, hvordan en gammel kunstform gemmer på dyb og overraskende matematik. Men måske er origami ikke det mest praktiske værktøj i alle situationer? Det må du selv afgøre.
undervisningsmaterialer, matematik, worksheets, downloads.
