De ægyptiske tovstrækkere
Landmålingens mestre og den retvinklede trekant
I det gamle Egypten stod man over for en årlig udfordring, der var lige så fundamental som selve den civilisation, der voksede frem langs Nilens bredder. Mens Nilen var livsnerven, der med sit vand og rige slam muliggjorde landbrug og føde til en stor befolkning midt i Sahara-ørkenen, skabte dens årlige oversvømmelser også et problem.
Når vandet trak sig tilbage, blev alle markeringer, der viste landmændenes ejendomsgrænser, vasket væk. Hvert år skulle store arealer i Nilens delta derfor genopmåles for at fastslå ejerskabet.
Opgaven blev udført af specialiserede fagfolk kaldet Harpedonaptae, der betyder "tovstrækkere". Dette navn henviste til deres primære redskab: et kalibreret reb. Disse tidlige landmålere brugte rebet til at opmåle jord, afsætte grænser og udstikke grundplaner for bygninger. De anvendte også enkle værktøjer som lodder. Man kan sige, at landmåling er en af verdens ældste professioner.
Udfordringen var ikke kun at måle længder, men også at skabe rette vinkler. At fastsætte en rektangulær mark ved blot at spænde reb ud var upræcist. Formen kunne forvrænges, selv med stramme reb. Rette vinkler var nødvendige for nøjagtighed og for at bevare områdets korrekte areal.
Harpedonaptae havde en genial løsning på dette problem. De tog et stykke reb og inddelte det i 12 lige store længder, markeret med knuder. Ved at involvere tre personer kunne de danne en trekant. Én person holdt den ene ende af rebet. En anden person holdt rebet stramt ud fra tre knuder væk fra den første. Den tredje person holdt derefter rebet stramt ud yderligere fire knuder væk fra den anden person, hvilket efterlod de resterende fem sektioner af rebet, som den første person så tog fat i den anden ende af.
På denne måde skabte de en trekant med sidelængderne tre, fire og fem i de rebenheder, de havde defineret. Personen ved hjørnet dannet af siderne på tre og fire enheder skabte en ret vinkel, når rebet blev holdt stramt. Denne teknik forhindrede forvridning af vinklen. Med større reb kunne de hurtigt og præcist etablere store rette vinkler og genopmåle landbrugsjord efter Nilens oversvømmelse.
Trekanter med sidelængder på 3, 4 og 5 kaldes den ægyptiske trekant eller tovtrækkertrekanten. Egypterne forstod forholdet mellem kvadraterne på siderne i en 3-4-5 trekant (9 + 16 = 25). Selvom Pythagoras' sætning blev formelt defineret af grækerne, var 3-4-5-forholdet en praktisk løsning i egypternes daglige arbejde.
Tovtrækkerne brugte deres evne til at skabe rette vinkler til mange formål, som at etablere fundamenter til bygninger, templer og pyramider. Grundlæggelsen af hellige bygninger var ofte en ceremoni, hvor selv faraoen deltog i at markere bygningens grundlinjer. Den imponerende præcision, de opnåede, ses stadig i monumenter som den Store Pyramide i Giza. Foruden reb anvendte de værktøjer som vandpas og A-rammer med lodder for at sikre vandrette og lodrette flader.
GEO-METRIA = JORD-MÅLING
Behovet for præcis landopmåling blev senere i antikkens Grækenland til geo-metria (jordmåling) og dannede grundlaget for geometri.
Selvom moderne landmålere i dag bruger avanceret teknologi, er principperne fra den ægyptiske 3-4-5 trekant stadig gyldige. Egypternes geniale løsning blev starten på en hel matematikgren.
Konstruer trekanter med forhold 3-4-5
Her er tre konstruktioner, der via papirfoldning skaber den egyptiske trekant.
1. Den Stjerneformede Foldning
Denne metode begynder med et kvadratisk stykke papir.
Sådan gør du: Lav en foldelinje, som går fra hvert hjørne til midtpunktet på den modsatte side. Gentag for alle fire hjørner, to foldelinjer fra hvert hjørne, så du i alt laver otte foldninger.
Resultatet: Foldningerne skaber en stjerneformet figur i midten af kvadratet, hvor hele 32 3:4:5-trekanter kan identificeres. Kan du finde dem alle?
2. Foldning af et Rektangulært Ark (Moskva Olympiade Problem)
Denne metode stammer fra en matematikkonkurrence og anvender et rektangulært ark papir.
Sådan gør du: Tag et af rektanglets hjørner og fold det, så det præcist møder midtpunktet på den kortere side af rektanglet.
Hvad der sker: Foldningen skaber en retvinklet trekant og to kongruente trekanter.
Bevis: Antag, at den kortere side af rektanglet er 8 enheder. Foldningen betyder, at den ene katete af trekanten bliver 4 enheder. Ved at anvende Pythagoras’ sætning (4² + a² = (8-a)²) kan vi beregne, at den anden katete er 3 enheder. Dette giver en trekant med sidelængderne 3, 4 og 5.
Resultatet: Den foldede trekant er den ægyptiske 3:4:5-trekant. Et rektangel med dimensionerne 8x12 kan nemt konstrueres gennem papirfoldning ud fra et kvadrat.
3. Hagas Første Teorem (To-folds Konstruktion)
Denne metode, kendt som Hagas Første Teorem, kræver kun to foldninger af et kvadratisk stykke papir.
Første fold: Marker midtpunktet på én af kvadratets sider ved at folde denne i to og lave et lille mærke.
Anden fold: Fold det nederste venstre hjørne op, så det møder midtpunktet på den modsatte side. Glat folden grundigt ud.
Hvad der sker: Foldelinjen opdeler kvadratet i flere trekanter. En retvinklet trekant fremkommer i det øverste hjørne nær midtpunktet.
Bevis: Hvis kvadratets side måler 8 enheder, vil den vandrette katete måle 4 enheder (halvdelen af siden). Den lodrette katete, a, og hypotenusen (8-a) kan bestemmes med Pythagoras’ sætning (a² + 4² = (8-a)²), hvilket giver a = 3.
Resultatet: Den dannede trekant har sidelængderne 3, 4 og 5. Yderligere ligedannede trekanter opstår naturligt i foldningen, og metoden afslører også interessante brøker, der relaterer til trekantens proportioner.