Euklid – Geometriens fader

Euklid var en græsk matematiker, der levede i Alexandria omkring 300 f.v.t. Selvom hans personlige liv er indhyllet i mystik, og det meste af vores viden er baseret på formodninger og senere fortolkninger, afslører hans banebrydende arbejde meget om ham. 

Euklid er mest kendt for sit værk "Elementerne", en bog, der fundamentalt ændrede vores forståelse af geometri og matematik.

Elementerne


"Elementerne" er en mesterlig samling af geometrisk og matematisk viden, der har haft en dybtgående indflydelse på vestlig videnskab i mere end to tusinde år. Værket er opdelt i tretten bøger og dækker alt fra grundlæggende geometriske definitioner og postulater til mere komplekse beviser for talteori og rumgeometri. Den stringente struktur og logiske opbygning vidner om en skarp tankegang, og den har dannet skole for videnskabelig fremstilling helt op til i dag.

Postulater Forklaring
Et linjestykke kan tegnes mellem to vilkårlige punkter. Dette postulat etablerer, at en lige linje altid kan forbinde to givne punkter.
Et linjestykke kan forlænges uendeligt i en lige linje. Det betyder, at enhver lige linje kan forlænges i begge retninger uden begrænsning.
En cirkel kan tegnes ud fra ethvert centrum med enhver . * Dette giver frihed til at konstruere cirkler, hvor man ønsker, og med den størrelse, man ønsker.
Alle rette vinkler er kongruente (dvs. lige store). * Uanset hvor eller hvordan en ret vinkel dannes, vil den altid være 90 grader og identisk med alle andre rette vinkler.
Parallelpostulatet: Hvis en lige linje skærer to andre lige linjer, således at de indre vinkler på den ene side tilsammen er mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer mødes på den side, hvis de forlænges uendeligt. Dette postulat er det mest komplekse og har ført til udviklingen af non-euklidisk geometri. Det kan også formuleres som: Gennem et punkt uden for en given linje kan der kun tegnes én linje, der er parallel med den givne linje.

Euklids mange beviser og bidrag

Ud over postulaterne samlede og systematiserede Euklid mange vigtige matematiske resultater. Hans arbejde er fyldt med elegante beviser, der stadig undervises i dag.

Euklids algoritme til at finde den største fælles divisor af to tal

Største fælles divisor (SFD) er det største tal, der kan dividere begge tal uden at efterlade en rest.

 

Sådan virker den:

  • Forestil dig, at du har to tal.
  • Algoritmen går ud på hele tiden, at trække det mindste tal fra det største tal, indtil du får tallet 0.
  • Du tager altså de to mindste tal fra forrige linje, og trækker det mindste fra det største.  
  • Det tal, du trækker fra lige før du får 0, er din SFD!

 

Eksempel: Find SFD for 48 og 18 ved hjælp af Euklids algoritme. 
48 - 18 = 30
30 - 18 = 12

18 - 12 = 6

12 - 6 = 6

6 - 6 = 0

 

Her har vi fundet, at tallet 6 er det største tal, der både går op i 48 og 18.

8 * 6 = 48 og 3 * 6 = 18

Eksempel: Find SFD for 184 og 128 ved hjælp af Euklids algoritme. 

184 - 128 = 56

128 - 56 = 72

72 - 56 = 16

56 - 16 = 40

40 - 16 = 24

24 - 16 = 8

16 - 8 = 8

8 - 8 = 0

Tallet 8 er det største tal der både går op i 184 og 128

Det smarte ved Euklids algoritme er, at den kan finde SFD uden at skulle finde primfaktorerne for tallene, hvilket er super praktisk, især når man arbejder med store tal.

Lighed mellem trekanter

Hvad er kongruente figurer?

Når to figurer er kongruente, er de identiske i både form og størrelse. Deres tilsvarende sider er lige lange, og deres vinkler er lige store.

 

Euklids kongruenssætninger

Euklid fandt ud af, at man ikke behøver at måle alle sider og vinkler i to trekanter for at bevise, at de er kongruente. - Det er ret smart! 

Han opstillede tre grundlæggende regler:

 

1)   Side-Vinkel-Side (SAS):

 

Denne regel siger, at hvis to sider og den mellemliggende vinkel i to trekanter er ens, så er trekanterne kongruente.

Eksempel: Forestil dig to trekanter, hvor to af siderne er 5 cm og 7 cm lange, og vinklen mellem disse sider er 60 grader. Hvis dette er tilfældet i begge trekanter, ved vi, at de er ens (kongruente).

 

2)   Side-Side-Side (SSS):

 
Denne regel siger, at hvis alle tre sider i to trekanter er ens, så er trekanterne kongruente.


Eksempel: Hvis du har to trekanter, hvor alle siderne i den ene trekant er præcis lige så lange som de tilsvarende sider i den anden trekant, så er de kongruente. Hvis begge trekanter eksempelvis har sidelængderne 3cm, 4cm og 5cm, så er de kongruente.

 

3)   Vinkel-Side-Vinkel/Vinkel-Vinkel-Side (ASA/AAS): Disse to regler er tæt forbundne.

 

ASA siger, at hvis to vinkler og den mellemliggende side i to trekanter er ens, så er trekanterne kongruente.

 

AAS siger, at hvis to vinkler og en ikke-mellemliggende side er ens, så er trekanterne kongruente.

 

Eksempel: Forestil dig to trekanter, hvor to af vinklerne er 45 grader og 75 grader, og siden mellem disse vinkler er 6 cm. Hvis dette er tilfældet i begge trekanter, er de kongruente.

 

Gode videoer om Euklid:

Euklid og beviser

Om axiomer og beviser

The father of geometry

Introduktion til euklidisk geometri

Den filosofiske matematikbog

Endnu flere beviser

Nedenfor nævnes flere betydningsfulde beviser, som Euklid har beriget os med:

Beviset for Uendeligheden af Primtal
Selvom "Elementerne" primært handler om geometri, indeholder den også vigtige resultater inden for talteori. Euklid beviste elegant, at der er uendeligt mange primtal – et fundamentalt resultat, der udfordrede den tids opfattelse af tal.

 

 

Pythagoras' sætning: Euklid gav et af de mest berømte beviser for denne sætning, som fastslår, at i en retvinklet trekant er summen af kvadraterne på de to korte sider lig med kvadratet på den lange side (hypotenusen) .

 

 

Egenskaber ved cirkler: Euklid beviste mange vigtige egenskaber ved cirkler, herunder forholdet mellem korder, diametre, radiusser, tangenter og vinkler i og omkring cirkler . For eksempel beviste han, at vinklen i midten af en cirkel er dobbelt så stor som vinklen på periferien, når de spænder over den samme bue .  

 

 

Konstruktion af regulære polygoner: Euklid viste, hvordan man konstruerer visse regulære polygoner (såsom den ligesidede trekant, kvadratet, femkanten og sekskanten) ved hjælp af kun passer og lineal . Han beviste også, at alle sider og vinkler i disse polygoner er ens .  

 

Arealer af geometriske figurer: Selvom Euklid ikke brugte algebraiske formler på samme måde som i dag, udviklede han metoder til at sammenligne og bestemme arealer af forskellige figurer ved at dekomponere dem i enklere former som trekanter og parallelogrammer . Han viste for eksempel forholdet mellem arealet af en trekant og et parallelogram med samme grundlinje og højde .

Euklids varige betydning
Euklids "Elementerne" er ikke blot en samling af matematiske fakta; det er et mesterværk i logisk tænkning og deduktiv ræsonnement. Værket har formet den måde, vi tænker om matematik og videnskab på, og har inspireret utallige filosoffer, videnskabsmænd og matematikere gennem årtusinder. Fra renæssancens kunstnere til nutidens ingeniører er Euklids principper stadig relevante og uundværlige. Hans indflydelse strækker sig langt ud over geometri og vidner om hans position som en af historiens største intellektuelle.

 

Nogle forskere mener, at Euklid studerede på Platons akademi i Athen, da "Elementerne" afspejler platonisk filosofi. Andre tror, han grundlagde en skole i Alexandria og underviste nye matematikere.

Uanset hvad er det klart, at Euklid var en dygtig matematiker og lærer. Hans værk "Elementerne" har i århundreder været grundlaget for matematikundervisning og påvirket områder som arkitektur, ingeniørvidenskab, fysik og datalogi.