Flexagoner

Flexagoner er fascinerende geometriske figurer, der kan foldes og udfoldes for at afsløre skjulte sider. Disse todimensionelle papirstrukturer adskiller sig fra almindelige figurer ved deres evne til at gennemgå bemærkelsesværdige transformationer og vise overflader, der oprindeligt var skjult.

 

Når en flexagon foldes, ændrer den sin form og fremviser en ny flade, hvilket resulterer i en dynamisk og interaktiv oplevelse.Udforsk den fascinerende verden af flexagoner for at undersøge deres unikke egenskaber og opdage, hvordan enkle papirfoldninger kan danne komplekse og imponerende strukturer.

Hvad er en flexagon? En flexagon er en flad figur, der kan foldes og "flekses" – altså forvandles – for at afsløre nye, skjulte flader. Selvom den ser ud til at have en forside og en bagside, kan den have mange flere! De mest almindelige flexagoner er sekskantede og kaldes derfor hexaflexagoner. Navnet "flexagon" kommer fra ordet "flex", fordi den kan flekse, og "hexa" fordi den er sekskantet.

Måden man flekser en flexagon på, er næsten altid den samme: Man klemmer to tilstødende trekanter (eller andre polygoner) sammen, så de danner en slags "pyramide" eller et "tag". Derefter skubber man den modsatte spids ind mod midten, og så åbner flexagonen sig, og vupti, en ny, hidtil usynlig flade dukker op! Hvis den ikke åbner sig, kan man prøve at klemme et andet par trekanter.

Tri-hexaflexagonen: Den simplestes magi Den første flexagon, Arthur Stone opdagede, er en tri-hexaflexagon. "Tri" betyder tre, og "hexa" betyder seks. Så det er en sekskantet figur med hele tre flader, som kan komme frem!

  • Hvordan laver man den? Du starter med en strimmel papir, der er inddelt i ni eller ti ligesidede trekanter. Hvis du farvelægger den ene side grøn, den anden side rød, og den tredje side gul, kan du tydeligt se, hvordan den skifter flade, når du flekser. Efter præcis foldning og limning af enderne får du en sekskant. Denne sekskant har i starten typisk kun to synlige flader, for eksempel grøn og rød. Men når du flekser den, dukker den gule flade op! Hvis du fortsætter med at flekse, vil du igen se den grønne flade og så videre i en cyklus.

  • Den fascinerende Möbius-bånd-forbindelse En bemærkelsesværdig indsigt: En tri-hexaflexagon kan betragtes som en komprimeret version af et Möbius-bånd. Et Möbius-bånd er en geometrisk enestående struktur, der kun har én sammenhængende overflade. Forestil dig, at du tegner en linje på et almindeligt papirbånd – linjen kan kun følge én side, og når du har tegnet hele vejen rundt, vil du ende tilbage ved udgangspunktet på samme side. Dog opfører et Möbius-bånd sig anderledes. Ved at dreje et papirbånd en halv omgang og forbinde enderne, skabes en struktur, hvor en kontinuerlig linje kan dække hele båndet uden at bryde eller løfte blyanten. Dette skyldes båndets unikke egenskab, hvor man umærkeligt bevæger sig fra den ene "side" til den anden, da der i realiteten kun er én overflade. En tri-hexaflexagon indeholder tre "halve snoninger" og udviser dermed samme princip som et Möbius-bånd. Denne egenskab tillader den at have et ulige antal flader, som alle er forbundet via én sammenhængende "side". Dette fænomen betegnes som en "chiral" egenskab, hvilket betyder, at hvis flexagonen vendes og foldes, vil fladerne fremkomme i en omvendt rækkefølge.

 

Hexa-hexaflexagonen: Tre gange så meget sjov! Arthur Stone opdagede hurtigt, at man kunne lave en endnu mere indviklet flexagon – en med hele seks flader, altså en hexa-hexaflexagon.

  • Hvordan laver man den? Denne flexagon kræver en længere strimmel med 19 ligesidede trekanter. Du nummererer typisk trekanterne på den ene side 1, 2, 3 og på den anden side 4, 5, 6. Under foldningen "ruller" man strimlen sammen på en bestemt måde, så den bliver dobbelt så tyk og halvt så lang, før den foldes til sekskanten. Når den er færdig, vil den ofte vise flade 1 på den ene side og flade 2 på den anden. Den kan så flekses til at vise alle seks flader. Nogle af fladerne (som 4, 5 og 6) kan være sværere at finde end andre (1, 2 og 3), og du kan opleve at sidde fast i en cyklus, der kun viser de samme tre flader igen og igen.

Flexagon-familien: Ikke kun trekanter! Flexagoner er en kæmpe familie, der ikke kun er begrænset til sekskantede figurer lavet af trekanter!

  • Forskellige former: Flexagoner kan laves af mange forskellige polygoner – ikke kun trekanter. Der findes for eksempel tetra-flexagoner lavet af firkanter, penta-flexagoner lavet af femkanter, okta-flexagoner (ottekanter) og endda dodeca-flexagoner (tolvkanter). De kan også laves af uregelmæssige polygoner som trapezoider, eller særlige trekanter som 45°-45°-90° trekanter ("sølv-flexagoner") eller 30°-60°-90° trekanter ("bronze-flexagoner").
  • Forskellige antal flader: Præfikser som "tri-", "tetra-", "penta-", "hexa-", "deca-" og "dodeca-" foran "flexagon" eller "hexaflexagon" indikerer, hvor mange flader flexagonen kan vise. Der findes flexagoner med helt op til 48 flader!
  • Foldemønstre: Flexagoner kan foldes fra helt lige strimler papir, men også fra strimler, der er skåret i zigzag-mønstre eller endda i mere snoede former, der ligner en trekløver. Nogle af de mere komplicerede flexagoner er faktisk sammensat af flere enklere flexagoner, de kaldes "komplekse flexagoner".
  • Hængsler: De fleste flexagoner er hængslet langs kanterne af deres blade (disse kaldes "kant-flexagoner" eller "edge flexagons"). Men der findes også "punkt-flexagoner" (eller "point flexagons"), hvor bladene er hængslet sammen i hjørnerne med særlige "punkt-hængsler" lavet af små papirstrimler. En underkategori af punkt-flexagoner kaldes "skelet-flexagoner".

Matematikken bag magien: Hvordan virker det? Flexagoner er meget mere end bare sjovt papirlegetøj. De er fascinerende matematiske objekter, der kan bruges til at udforske komplekse idéer om geometri og topologi!

  • Blade og "Pats": Hver lille polygon (trekant, firkant osv.), der udgør flexagonen, kaldes et blad. Når flexagonen er foldet, ligger bladene i bunker, som kaldes "pats". De synlige flader af flexagonen består af disse "pats". Matematikere kan beskrive en flexagon ved at notere rækkefølgen af dens pats med uret.
  • Foldning og udfoldning (Numerisk beskrivelse): For at lave flexagoner af højere orden (med flere flader) starter man ofte med en enklere flexagon og "folder ud" nye trekanter. For en hexaflexagon af "n"-te orden er antallet af trekanter i strimlen typisk (3n+1) – trekanter til de synlige flader, plus en ekstra til at lime sammen. Matematikere har udviklet et system, hvor hver trekant på strimlen får et nummer og en retning. Når du folder, ændrer disse numre sig på en forudsigelig måde. Dette gør det muligt at bruge computere til at designe og forudsige opførslen af meget komplekse flexagoner.
  • Flex-typer og Notation: "Fleks" er en række manipulationer, der ændrer flexagonen fra én tilstand til en anden.
    • Pinch flex: Den mest almindelige fleks. Man klemmer to tilstødende "pats" sammen og åbner op i midten.
    • V-flex: Her folder man flexagonen ved at klemme modsatte hjørner sammen og åbne den i midten.
    • Tuck flex: En "fold ind"-fleks, hvor man folder flexagonen på midten og "tucker" et par blade ind i folden.
    • Pyramid shuffle flex: Denne fleks påvirker kun en del af flexagonen ad gangen, idet man skiftevis folder og udfolder pats fra forskellige hængsler.
    • Der findes mange andre fleks-typer som "flip flex", "silver tetra flex" og "ticket flex", som ofte virker bedst på bestemte typer flexagoner, f.eks. retvinklede trekant-flexagoner.
    • For at beskrive flexes præcist bruger matematikere en "flex notation" med symboler som P (pinch flex), T (tuck flex), S (pyramid shuffle flex) osv. Man kan også beskrive, hvordan man roterer eller vender flexagonen med symboler som > (drej med uret), < (drej mod uret) og ^ (vend om). Dette sprog hjælper dem med at studere, hvordan flexagonens indre struktur ændrer sig. Nogle flexes er kun mulige, hvis flexagonens indre opbygning tillader det, hvilket beskrives med matematiske ligninger, der adskiller mellem absolut lighed (=) og lighed afhængig af struktur (≈).
  • Tuckermans travers: Som nævnt kan det være svært at finde alle fladerne på en kompleks flexagon. Matematikeren Bryant Tuckerman opfandt en systematisk metode kaldet Tuckermans travers. Man flekser flexagonen gentagne gange fra det samme hjørne, indtil den ikke kan åbne sig mere, og skifter så til et tilstødende hjørne. Denne metode sikrer, at man finder alle flader i en bestemt rækkefølge. Hvis du vender flexagonen om, vil traversen køre i modsat rækkefølge. På flexagoner med mange flader vil nogle flader dukke op oftere end andre i en Tuckerman-travers. Nogle flexagoner har den særlige egenskab, at alle flader dukker op i en lige rækkefølge, lidt som husnumre på en gade – disse kaldes "street flexagons".
  • Frihedsgrader og "mudring": Flexagoner er en slags mekaniske led (linkages). Jo flere blade og jo mere kompleks en flexagon er, jo flere "frihedsgrader" har den – altså flere måder, dens dele kan bevæge sig på i forhold til hinanden. Det betyder, at det er nemt at komme til at "mudre" (muddle) flexagonen, hvilket betyder, at man ved et uheld folder den i en forkert, "rodet" position, hvor fladerne ikke viser sig, som de skal. Nogle forfattere giver meget detaljerede instruktioner for at undgå dette, ofte ved at kræve, at man opretholder en vis rotationssymmetri under fleksningen.
  • Ideelle versus Fysiske Modeller: I matematik studeres flexagoner som "ideelle objekter" med nul tykkelse og perfekt stive blade, der er hængslet sammen. I virkeligheden er papir ikke stift, og det har en vis tykkelse. Dette kan gøre det svært at manipulere nogle af de mere komplekse flexagoner, men det kan også åbne for nye fleks-muligheder, hvis man tillader, at bladene bøjes lidt.

Hvorfor er flexagoner interessante? Det kan måske virke fjollet at studere papirlegetøj så detaljeret, men flexagoner er meget mere end det!

  • Kritisk tænkning og problemløsning: At udforske flexagoner er en fantastisk måde at træne kritisk tænkning og problemløsning på. Man skal observere, forudsige, eksperimentere og finde mønstre i komplekse systemer.
  • Matematisk sjov: De viser på en sjov og konkret måde, hvordan selv simple papirmodeller kan rumme dybe matematiske principper. Det handler om at omsætte et fysisk legetøj til et matematisk objekt, der kan analyseres og forstås.
  • Et lille "åndehul": En professor i kemi, Hubert N. Alyea, brugte flexagoner som en "øjeblikkelig afledning" i sin undervisning. En kort, engagerende pause, der stadig fik eleverne til at tænke og bruge deres hjerner, uden at de opdagede, at de faktisk lærte.

Så hvad venter I på? Grib noget papir, en saks og tape, og begynd jeres egen spændende rejse ind i flexagonernes forunderlige verden! Måske opdager I selv nye hemmeligheder i disse fantastiske papirformer!