Segmentet, der altid er halvdelen af papirets længde

 

Hvis du folder nederste højre og venstre hjørne op til et vilkårligt punkt på den øverste kant af papiret, vil afstanden mellem foldelinjerne langs papirets sider altid være præcis halvdelen af papirets længde. Dette gælder uanset hvilket punkt du vælger på den øverste kant.

 

  1. Lad os først afprøve denne påstand med et kendt punkt på toppen af papiret.
  2. Derefter bevise påstanden for alle vilkårlige punkter på topkanten. 

En algebraisk metode

Ved anvendelse af en algebraisk metode starter vi med at fastlægge ligningerne de to foldelinjer og identificere, hvor de skærer papirets kanter.

Derefter beregner vi afstanden mellem  foldelinjernes skæringspunkter på siden af papiret.

I følgende eksempel folder vi papirets hjørner op til midtpunktet på den øverste kant.

Vi starter med et kvadratisk stykke papir med sidelængden 2.

Herefter folder vi papirets nederste hjørner, D og C op til midtpunktet på den øverste kant – én fold ad gangen.

 

Kvadrat: A,B,C,D samt foldelinjerne l1 og l2

 

Beviset gør brug af en formel, der kaldes afstandsformlen. 

Denne formel beregner afstanden mellem to punkter, (x₁, y₁) og (x₂, y₂), og ser sådan ud:

√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

 

Når to punkter ligger i samme afstand fra et fælles punkt – lige som punkterne C og M i forhold til foldelinjen – kan du finde foldelinjens ligning ved at sætte de to afstandsformler lig hinanden. Denne tilgang gør det muligt præcist at bestemme foldelinjens placering og retning ved at analysere den matematiske relation mellem punkterne.

En foldelinje er i geometrisk forstand en midtnormal, hvor hvert punkt på linjen er lige langt fra både start- og slutpunktet af folden.

For eksempel er afstanden mellem P1 og C  (ℓ1) den samme som afstanden mellem P1 og M (ℓ).

Foldelinjernes ligninger:

 

Foldelinje ℓ (Når C foldes til M)

  • Da vi ikke kender punktet P1, definerer vi det som P1(x, y)
  • Punktet C er givet som C(2, 0)
  • Punktet M er givet som M(1, 2)
  • I venstre afstandsformel angiver vi punkt C som (x₁, y₁) og punkt P1 som (x₂, y₂)
  • I højre afstandsformel angiver vi punkt M som (x₁, y₁) og punkt P1 som (x₂, y₂)

 

Vi indsætter disse punkter i hver deres afstandsformel:

√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Dette giver: Afstanden fra P1 til C = Afstanden fra P1 til M

√((x − 2)² + (y − 0)²) = √((x − 1)² + (y − 2)²)

For at fjerne kvadratrødderne kvadrerer vi begge sider af ligningen, hvilket giver:

(x − 2)² + y² = (x − 1)² + (y − 2)²

Nu udvider vi parenteserne og forenkler ligningen.

Husk reglen: (a − b)² = a² − 2ab + b²

x² − 4x + 4 + y² = x² − 2x + 1 + y² − 4y + 4

Ved at fjerne fælles led (x² og y²) på begge sider, forenkles ligningen til:

−4x + 4 = −2x + 1 − 4y + 4

−2x + 4 = −4y + 5

For at finde ligningen for foldelinjen isolerer vi y:

4y = −2x + 1

Hvilket giver ligningen for foldelinjen ℓ:

y = −0,5x + 0,25

Foldelinje ℓ (Når D foldes til M)

  • Da vi ikke kender punktet P2, definerer vi det som P2(x, y)
  • Punktet D er givet som D(0, 0)
  • Punktet M er givet som M(1, 2)
  • I venstre afstandsformel angiver vi punkt D som (x₁, y₁) og punkt P2 som (x₂, y₂)
  • I højre afstandsformel angiver vi punkt M som (x₁, y₁) og punkt P2 som (x₂, y₂)

 

Vi anvender samme metode for foldelinje ℓ, hvor vi ligestiller afstandene:

Afstand(P, D) = Afstand(P, M)

Ved at kvadrere begge sider for at fjerne kvadratrodstegnene, får vi:

Udvid parenteserne:

Ved at eliminere de ens led ( og ) fra begge sider, står vi tilbage med:

Vi isolerer nu :

Dette er ligningen for foldelinjen ℓ.

 

2. Beregning af skæringspunkterne på papirets venstre side

I dette trin beregner vi de to skæringspunkter på papirets venstre kant (), hvor foldelinjerne krydser hinanden.

Afstanden mellem disse to punkter repræsenterer det segment, vi skal måle.

  • Skæringspunktet for ℓ1 på venstre side (x=0):

    For at bestemme skæringspunktet indsætter vi x = 0 i ligningen for ℓ1: y1 = 0,5 ∙ 0 + 0,25 = 0,25

    Skæringspunktet bliver dermed (0, 0,25).

  • Skæringspunktet for ℓpå venstre side (x=0):

    På samme måde indsætter vi x = 0 i ligningen for ℓ:

    y2 = −0,5 ∙ 0 + 1,25 = 1,25

    Skæringspunktet bliver derfor (0, 1,25).

3. Afstand mellem skæringspunkterne

 

Nu beregner vi afstanden mellem de to skæringspunkter, som ligger på papirets venstre kant.

Afstanden mellem (0, 0,25) og (0, 1,25) er:

1,25 − 0,25 = 1,00 = 1

Da papirets sidelængde er , og segmentets længde er 1, er påstanden sand i dette tilfælde.

 

Men gælder påstanden for alle valg af punkt på øverste kant – og ikke kun midtpunktet?

Lad os prøve at opstille et bevis:

Bevis for påstand med et vilkårligt toppunkt (t)

Vi bestemmer ligningerne for de to foldelinjer:

  1. Foldelinjen: C foldes til M.
  2. Foldelinjen: D foldes til M.

Vi anvender samme koordinatsystem som tidligere:

  • D = (0, 0) (venstre nederste hjørne)

  • C = (2, 0) (højre nederste hjørne)

  • M = (t, 2) er et vilkårligt punkt på den øverste kant.

  • P = (x, y) er et punkt på foldelinjen (midtnormalen), hvor afstanden til foldens endepunkter er ens.

1) Foldelinjen fra C(2, 0) til M(t, 2)

 

Afstandsbetingelsen er:

√((x−2)² + y²) = √((x−t)² + (y−2)²).

Ved at kvadrere og forenkle opnås:

(x−2)² + y² = (x−t)² + (y−2)².

Efter reduktion får vi:

−t² + 2tx − 4x + 4y = 0.

Vi løser for y:

y = t²/4 + (1 − t/2)x.

Så ligningen for foldelinjen ℓ₁ er:

 y = (t² / 4) + (1 − t/2)x. 

2) Foldelinjen fra D(0, 0) til M(t, 2)

 

Afstandsbetingelsen er:

√(x² + y²) = √((x−t)² + (y−2)²).

Ved at kvadrere og forenkle opnås:

x² + y² = (x−t)² + (y−2)².

Efter reduktion får vi:

−t² + 2tx + 4y − 4 = 0.

Vi løser for y:

y = t²/4 − (t/2)x + 1.

Så ligningen for foldelinjen ℓ₂ er:

 y = (t² / 4) − (t / 2)x + 1. 

3) Skæringspunkterne på venstre kant (x = 0)

Vi indsætter x = 0 i begge ligninger:

  • For ℓ₁: y₁ = t² / 4.
    Skæringspunkt: (0, t² / 4).

  • For ℓ₂: y₂ = t² / 4 + 1.
    Skæringspunkt: (0, t² / 4 + 1).

 

4) Længden af segmentet mellem skæringspunkterne

Afstanden langs den venstre kant (x = 0) er simpel:

afstanden

y₂ − y₁

(t²/4 + 1) − (t²/4)

t²/4 + 1 − t²/4

1.

 

Da papirets sidelængde i opsætningen er 2, svarer segmentet til 1 — altså halvdelen af sidelængden.

Bemærk, at dette resultat er uafhængigt af t. Det betyder, at valget af punkt M = (t, 2) på den øverste kant ikke påvirker resultatet.

 

Konklusion

Ved at vælge det øverste foldepunkt som M = (t, 2) og udlede foldelinjernes ligninger for vilkårlige værdier af t, har vi vist, at skæringspunkternes y-koordinater på den venstre kant er t² / 4 og t² / 4 + 1. Differencen mellem disse er altid 1.

 

Derfor gælder beviset for alle valg af punkt på den øverste kant.