Bevis: Segmenternes længde er halvdelen af papirets side

Her vil vi bevise, at de dannede segmenter ved foldningen er præcist halvdelen af papirets sidelængde. Dette gøres ved at tage udgangspunkt i et kvadratisk papir med sidelængden L = 1.

 

Skridt 1: Fastlæggelse af koordinatsystem og foldelinjernes ligninger

Vi placerer et koordinatsystem, hvor det nederste venstre hjørne af papiret ligger i punktet (0, 0). Papirets øvrige hjørner er: A(0, 1), B(1, 1), C(1, 0) og D(0, 0). Lad os vælge et vilkårligt startpunkt E(x_E, 1) på den øverste kant AB, hvor 0 ≤ x_E ≤ 1.

1. Første fold: Hjørnet C(1, 0) foldes op til punktet E(x_E, 1). Foldelinjen, kaldet l₁, er midtnormalen til linjestykket CE. Punkterne på denne linje har samme afstand til C og E:

   • Afstand til C: √((x - 1)² + y²)
   • Afstand til E: √((x - x_E)² + (y - 1)²)
   • Ved at sætte afstandene lig hinanden og kvadrere, får vi ligningen: y = (1 - x_E)x + x_E².

2. Anden fold: Hjørnet D(0, 0) foldes op til punktet E(x_E, 1). Foldelinjen, kaldet l₂, er midtnormalen til linjestykket DE. Punkterne på denne linje har samme afstand til D og E:

   • Afstand til D: √(x² + y²)
   • Afstand til E: √((x - x_E)² + (y - 1)²)
   • Ved at sætte afstandene lig hinanden og kvadrere, får vi ligningen: y = -x_Ex + x_E² + 1.

Skridt 2: Beregning af skæringspunkterne på siderne

Næste skridt er at finde de punkter, hvor foldelinjerne krydser papirets sider AD (ved x = 0) og BC (ved x = 1):

• Skæringspunkt på venstre side (x = 0): For foldelinjen l₂ giver indsættelse af x = 0: y = 2x_E² + 1. Skæringspunktet med AD er derfor P_AD(0, 2x_E² + 1).
• Skæringspunkt på højre side (x = 1): For foldelinjen l₁ giver indsættelse af x = 1: y = 1 - x_E + 2x_E². Skæringspunktet med BC er derfor P_BC(1, 1 - x_E + 2x_E²).

Skridt 3: Sammenhæng mellem skæringspunkterne

Der opstår to skæringspunkter på hver side af papiret, hvilket vi kalder P_V1 og P_V2 på venstre side, samt P_H1 og P_H2 på højre side. Afstanden mellem dem skal nu beregnes for at vise, at den er en halvdel af papirets sidelængde.

1. Venstre side: Afstanden mellem P_V1 og P_V2 er: |y_V2 - y_V1| = |(2x_E² + 1) - 2x_E²| = 1.
2. Højre side: Afstanden mellem P_H1 og P_H2 er: |y_H1 - y_H2| = |(1 - x_E + 2x_E²) - (-x_E + 2x_E² + 1)| = 1.

Konklusion: Segmenternes længde er halvdelen

Afstanden mellem de to skæringspunkter på hver side af papiret er konstant og altid 1/2 af papirets sidelængde, uanset hvilket startpunkt E(x_E, 1) der vælges. Dette er et smukt eksempel på en geometrisk invariant, som papirfoldning elegant illustrerer. Sådanne simple handlinger kan afsløre dybere matematiske principper og forbindelser.