Penrose Tiling er et fascinerende mønster inden for matematik og geometri, opdaget af den britiske matematiker og fysiker Sir Roger Penrose i 1970'erne.

Hvad er Penrose Tiling?

Kernen i Penrose Tiling er begrebet ikke-periodisk flisebelægning (aperiodisk mønster).

I modsætning til almindelige flisemønstre (f.eks. kvadratiske eller sekskantede mønstre, der gentages regelmæssigt) har Penrose-mønstre den unikke egenskab, at de aldrig gentager sig nøjagtigt, uanset hvor meget de udvides. De mangler dermed den traditionelle translationssymmetri.

Koblingen mellem Videnskab og Kunst

Denne aperiodiske egenskab skaber et komplekst, men harmonisk og æstetisk tiltalende design. Penrose-mønstre er således en perfekt kobling mellem videnskab og kreativitet – et avanceret puslespil, hvor brikkernes samspil styres af dyb matematisk logik.

Forhistorien bag Penrose Tiling

Idéen om ikke-periodiske mønstre går tilbage flere århundreder, men det var først med Penroses arbejde, at de blev formelt beskrevet og analyseret. Inspirationen til Penrose-tiling kom blandt andet fra islamisk kunst, hvor man ofte ser geometriske mønstre, der virker komplekse og næsten ikke-gentagende. Penrose udviklede to typer fliser – typisk omtalt som "dragen" og "pilen" – der kan kombineres efter bestemte regler for at skabe disse ikke-periodiske mønstre. Hans opdagelse har ikke bare haft betydning inden for matematik og kunst, men også inden for fysik, især i studiet af kvasi-krystaller.

Senere viste Roger Penrose, at hans eget mønster harmonerede perfekt med Keplers specifikke pentagon-mønstre. Penrose tog fat på en central matematisk udfordring: Regelmæssige femkanter (pentagoner) med identiske sider og vinkler kan ikke dække et plan fuldstændigt uden at efterlade huller. Dette adskiller dem fra trekanter, firkanter (kvadrater) og sekskanter, som nemt kan skabe periodiske (gentagende) flisebelægninger.

Matematisk set er det et kendt teorem, at de eneste rotationssymmetrier, som kan kombineres med translational symmetri (periodiske mønstre), er to-, tre-, fire- og seksfoldige symmetrier. Keplers arbejde, sammen med andre historiske kunstnere (bl.a. islamisk kunst med sine komplekse, næsten-gentagende mønstre), inspirerede Penrose til at udvikle et mønster, der brød med de traditionelle krystallografiske begrænsninger.

Kun To Brikker – og det Gyldne Snit

Penrose fandt måder at dække et plan uendeligt uden gentagelse ved kun at bruge to forskellige fliseformer.

1. Kite and Dart (Drage og Pil): To forskellige firkanter.

2. Rhombs (Ruder): En tyk (fat) og en tynd (skinny) rombe med lige lange sider, men forskellige vinkler.

Den tykke rombe har vinklerne 72° og 108°, mens den tynde har 36° og 144°.

Hemmeligheden bag, at disse to simple former kan skabe uendeligt ikke-gentagende mønstre, ligger i:

1. Matching-Reglerne

For at sikre, at mønsteret forbliver aperiodisk, skal fliserne samles efter strenge regler – de såkaldte matching-regler. Hvis man samler dem uden regler, kan de let danne gentagende mønstre.

Disse regler kan håndhæves ved at:• Tilføje små udskæringer ("knopper og hakker") langs kanterne.• Tegne farvede pile eller buer (cirkelbuer) på overfladen, som skal matche på tværs af tilstødende fliser.

Disse lokale regler tvinger en global ikke-periodisk orden.

2. Det Gyldne Snit ($\Phi$)

Penrose-mønstre er dybt forbundet med det Gyldne Snit, $\Phi$ (Phi), som er et irrationelt tal, der er cirka $1.61803...$.

• Forholdet mellem sider: I Kite/Dart-fliserne er forholdet mellem de længere og kortere sider lig med $\Phi$.

• Forholdet mellem flisetyper: I en uendelig Penrose-tiling er forholdet mellem antallet af tykke romber og antallet af tynde romber præcis lig med $\Phi$.Det Gyldne Snit er selve den matematiske kerne bag Penrose-tilingens aperiodiske struktur og skønhed.Fem-Tals Symmetri: Når det Forbudte SkerEt af de mest iøjnefaldende og matematisk overraskende træk ved Penrose-mønstre er deres fem-tals symmetri.Som nævnt tillader traditionel krystallografi kun 2, 3, 4 og 6-foldige rotationelle symmetrier, hvis strukturen skal være periodisk (gentagende). Penrose-mønstre trodser denne regel ved at udvise 5-foldig symmetri.

Men hvordan kan det lade sig gøre? Penrose-mønsteret har ikke translational symmetri (det gentager sig ikke), og derfor er det ikke bundet af krystallografiens begrænsninger. Mønsteret udviser i stedet:1. Lokal Rotationssymmetri: Mange steder i mønsteret opstår der en slags femtakket stjerne-symmetri, hvor man kan dreje en del af mønsteret $1/5$ omgang (72 grader), og det passer med sig selv. Disse mønstre forekommer omkring specifikke punkter (kaldet "Sol" eller "Stjerne" konfigurationer).

Der kan kun eksistere ét centerpunkt med global fem-foldig symmetri i et Penrose-mønster.2. Quasi-periodisk Orden: Mønsteret er ikke et tilfældigt rod; det er tværtimod yderst struktureret. Den fem-foldige symmetri er en del af en quasi-periodisk translational orden, som bevises ved hjælp af et geometrisk værktøj kaldet Pentagridet (de Bruijns metode). Et Pentagrid består af fem sæt parallelle linjer, der er roteret $36^\circ$ i forhold til hinanden. Penrose-mønsteret er i virkeligheden Pentagridet i forklædning. Analysen af afstanden mellem båndene af fliser i dette gitter viser, at forholdet mellem de tynde og tykke bånd netop er $\Phi$, det irrationelle Gyldne Snit.

Da forholdet er irrationelt, kan mønsteret umuligt gentage sig periodisk.Dette unikke fænomen – orden uden gentagelse og 5-foldig symmetri – er årsagen til, at Penrose-tiling fungerede som en teoretisk model for kvasikrystaller. Kvasikrystaller er materialer (opdaget i 1980'erne af Dan Shechtman, som vandt Nobelprisen i Kemi i 2011), hvis atomstruktur udviser 5-foldig symmetri, hvilket tidligere blev anset for umuligt i krystaller.

Penrose og Papirfoldning

Penrose-tilingens rige geometriske og matematiske struktur gør den til et ideelt emne for papirdesign, især i modular origami og kirigami.Modular Origami: 3D-FladerPenrose-mønstre, især romberne (P3) og drage/pil-fliserne (P2), kan bruges som grundlag for at skabe komplekse, selvlignende 3D-strukturer.

• Selvlignende Struktur (Inflation/Deflation): Penrose-mønstre er fraktale; de er selvlignende, hvilket betyder, at hvis man zoomer ind eller ud, kan man finde de samme figurer igen i andre størrelser. Denne proces kaldes inflation (oppustning) og deflation (nedbrydning). I modular origami kan denne hierarkiske struktur efterlignes, hvilket skaber en følelse af, at mønsteret vokser som et levende system.

• Pentasia og Rhombonia: Man kan skabe polyedriske overflader (3D) baseret på Penrose-tilinger ved at folde de enkelte fliser, så de får et vertikalt relief. Overfladen "Pentasia" er baseret på drage/pil-tilingen og er dannet af foldede romber. Overfladen "Rhombonia" er baseret på rombe-tilingen (P3). Disse 3D-modeller kan skabes ved at bruge identiske moduler, der kun adskiller sig i foldningsvinkel og orientering.Kirigami: Udfoldelige StrukturerInden for kirigami (kunsten at skære og folde papir) kan Penrose-mønstre bruges som grundlag for udfoldelige metamaterialer. Ved at skære mønsteret på en bestemt måde kan man skabe en struktur, der kan trækkes ud radielt, så den dækkede areal øges markant.Selv når disse strukturer udfoldes, bevarer de den 5-foldige rotationssymmetri. Dette opnås typisk ved tre matematiske metoder:1. Ekspansionsflisemetoden: Tilføjelse af små "ekspansionsfliser" mellem de originale Penrose-fliser, hvilket skaber huller, der muliggør udfoldning.2. Fjernelsesmetoden: Fjernelse af visse fliser for at skabe et deployerbart mønster.3. Hamilton-cyklusmetoden: Manipulation af flisernes sammenhæng for at danne en enkelt, lukket sløjfe, der kan trækkes ud (denne metode giver den største størrelsesændring ved udfoldning).At eksperimentere med Penrose tiling i papir er utroligt tilfredsstillende. Det er en perfekt måde at forene den stringente logik fra den højdimensionelle matematik (da Penrose-tiling kan forstås som en 2D-projektion af en periodisk struktur i 5D-rummet) med den taktile glæde ved at skabe komplekse og smukke aperiodiske mønstre.

Sir Roger Penrose (født den 8. august 1931 i Colchester, Storbritannien eller Kolwich, England) er en fremtrædende britisk matematiker og fysiker, som i dag er emeritus professor i matematik ved University of Oxford.

Penrose har ydet betydelige bidrag inden for en række komplekse videnskabelige områder:

• Sorte Huller og Relativitetsteori: Hans mest anerkendte arbejde inden for fysik er hans teoretiske forståelse af sorte huller. I 1965 publicerede han en bemærkelsesværdig artikel, inspireret af opdagelsen af nye voldsomme fænomener i universet, hvori han introducerede matematiske værktøjer for at bevise, at dannelsen af sorte huller er en uundgåelig og robust konsekvens af Einsteins generelle relativitetsteori. Han viste, at dybest inde i sorte huller findes en singularitet, hvor alle kendte naturlove ophører. Hans arbejde lagde fundamentet for, at disse objekter kunne forventes at eksistere. Penrose delte halvdelen af Nobelprisen i fysik i 2020 for denne opdagelse. Sammen med Stephen Hawking udviklede han desuden Penrose–Hawking singularitetsteoremerne og introducerede de grafiske Penrose-diagrammer til at visualisere rumtiden, sorte huller og singulariteter.
• Aperiodisk Flisebelægning: I matematikken er Penrose mest kendt for at have opdaget Penrose-fliserne i 1970'erne, specifikt i 1974. Disse fliser, som typisk består af kun to forskellige former (enten de tykke og tynde romber eller kite and dart-fliserne), kan dække et plan uendeligt, men kun i et ikke-gentagende (aperiodisk) mønster. Han var den, der reducerede det nødvendige antal fliser for aperiodisk dækning fra tusinder (som Robert Berger oprindeligt fandt) til kun to. Penrose-mønstrenes unikke fem-foldige symmetri blev det teoretiske grundlag for forståelsen af kvasikrystaller.
• Andre Bidrag: Penrose populariserede også, sammen med sin far Lionel Penrose, den umulige Penrose-trekant i 1950'erne, som er en berømt optisk illusion. Han har også bidraget til teoretisk fysik med sin twistor-teori og har udforsket forholdet mellem bevidsthed og kvantemekanik i bøger som The Emperor’s New Mind.

Hvorfor er det sjovt at eksperimentere med?

At eksperimentere med Penrose tiling er både underholdende og udfordrende, fordi det kræver kreativitet og præcision at skabe mønstrene korrekt. Det er som et avanceret puslespil, hvor brikkerne ikke passer sammen på en simpel måde, men i stedet kræver, at du følger specifikke regler. Desuden er det fascinerende at se, hvordan disse fliser kan producere så komplekse og smukke resultater uden nogen gentagelser. For mange er det en perfekt kombination af videnskab og kunst – og det er netop derfor, det er så sjovt at eksperimentere med! Uanset om du er matematiknørd, kunstner eller blot elsker at udforske nye idéer, kan Penrose tiling give dig en dybere forståelse for symmetri og uendelighed.