Alexandrovs Sætning – Nøglen til et Polyeder

 

I 1940’erne fremlagde den russiske matematiker Alexandr Alexandrov et enestående resultat,

der i dag betragtes som fundamentet for moderne foldningsgeometri.

 

Kort fortalt siger Alexandrovs sætning:

  • Hvis man tager en sammenhængende flade (f.eks. et polygonnet) og limer dens kanter sammen under tre bestemte betingelser, vil resultatet altid folde sig til ét unikt, konvekst polyeder.

De tre krav til en “Alexandrov-limning”

  1. Hele kanten skal bruges. Ingen løse ender eller åbne huller er tilladt.

  2. Ingen vinkelsum over 360°. Summen af vinklerne, der mødes i et enkelt punkt, må ikke overstige 360°. 

  3. Formen skal være en topologisk sfære. Når alle kanter er samlet, skal resultatet være en lukket form uden huller.

 

Når disse tre krav er opfyldt, garanterer sætningen, at foldningen danner ét unikt konvekst polyeder.
Det betyder, at den præcise måde, kanterne limes på, fuldstændigt bestemmer formen på den færdige figur.

Den Generelle Metode – Perimeter-halvering

Alexandrovs sætning giver os ikke kun teori, men også en konkret metode, som virker for alle konvekse polygoner.
Denne metode kaldes perimeter-halvering – at halvere figurens omkreds.

Trin-for-trin:

  1. Start med en konveks polygon – fx et kvadrat, en femkant eller en jævn, cirkellignende figur.

  2. Vælg et startpunkt x et vilkårligt sted på kanten.

  3. Mål halvvejs rundt om kanten – det punkt, du ender på, kaldes y.

  4. Forestil dig nu, at du “lynlukker” polygonen ved at lime kanten fra x→y sammen med kanten fra y→x.

Hvorfor virker det?

Metoden opfylder præcis de tre krav fra Alexandrovs sætning:

  • Hele kanten bruges – ingen ender står åbne, fordi de to halvdele af omkredsen passer perfekt sammen.

  • Vinkelsummen forbliver ≤ 360°, da polygonen er konveks og alle indre vinkler er under 180°.

  • Resultatet er en lukket form, en “pose”, der topologisk svarer til en kugle.

Derfor sikrer sætningen, at denne foldning altid resulterer i et unikt konvekst polyeder – uanset hvor du vælger startpunktet x.

Eksempel – Når et Kvadrat bliver til et Oktaeder

Et klassisk eksempel er foldningen af et kvadrat, der ved perimeter-halvering kan omdannes til et oktaeder.

Du skal bruge:

  • Et kvadratisk stykke papir (fx 20 × 20 cm)

  • En saks og lidt tape

  • Evt. lineal og blyant til markering

Sådan gør du:

  1. Læg kvadratet foran dig. Vælg et punkt x på den nederste kant, ¼ sidelængde fra venstre hjørne.

  2. Mål halvvejs rundt om omkredsen (to sidelængder) – det punkt kaldes y. Du lander ¼ sidelængde fra øverste højre hjørne.

  3. Forestil dig nu, at du folder og limer kanten fra x→y sammen med kanten fra y→x.

  4. Når du har samlet de åbne kanter, dannes en lukket “papirpose”.

  5. Tryk forsigtigt formen frem – efterhånden vil der dannes otte trekantede flader. Du står nu med et oktaeder.

Hvorfor netop et oktaeder?

Når kvadratet limes på denne måde, opstår præcis de vinkel- og længdeforhold, der svarer til et regulært oktaeder.
De oprindelige hjørner af kvadratet bliver ikke hjørner i oktaederet – de foldes ind i fladerne.
De nye spidser opstår i stedet som “samlepunkter” inde på papirets flade.

Pædagogiske Perspektiver og Udforskning

Denne aktivitet er mere end en kreativ øvelse – den er en konkret udforskning af, hvordan geometri bliver levende.
Der trænes både rumlig forestillingsevne og matematisk argumentation.

Forslag til videre arbejde i klassesammenhæng:

  • 🧠 Convince a skeptic: Bed eleverne overbevise en klassekammerat om, at deres foldede figur virkelig er et oktaeder. Hvilke målinger eller argumenter kan de bruge?

  • 🔄 Hvad nu hvis…? Prøv at flytte startpunktet x:

    • Midt på en side → foldningen bliver et fladt dobbeltrektangel.

    • I et hjørne → resultatet bliver en flad dobbelt trekant.

    • Mellem disse punkter → man får en hel familie af forskellige polyedre!