Den japanske Tato
Elegant indpakning & interessant matematik
Den japanske "tato" fungerer som en alsidig konvolut eller fleksibel indpakning til små genstande som breve og penge. Udover at være en simpel beholder kombinerer designet både æstetik og en interessant matematisk detalje.
Tatoens historie og kulturelle betydning
Oprindeligt var papir sjældent og dyrt, så origami var forbeholdt aristokrater og munke til gaveindpakning og religiøse ceremonier. Foldede "tato" havde en central rolle ved ceremonielle begivenheder, hvor etikette afgjorde origamivalget.
I Edo-perioden (1603-1868) blev papir billigere, især washi-papir (og rispapir), hvilket gjorde origami mere tilgængeligt og gjorde "tato" endnu mere populært som gaveindpakning.
Ordet "tato" (多当) kan oversættes til "mange passende" eller "mange muligheder", hvilket muligvis henviser til de mange foldemåder eller formål, de tjener.
En matematisk påstand:
Arealet af en tato udgør nøjagtigt 1/5, af det anvendte papir.
Prøv først at folde en tato. Bagefter kan du teste beviset nedenfor.
Hvordan griber man problemet an?
Folder vi tatoen ud, ses tatoens bund, som et (drejet) kvadrat midt på papiret.
- Det grønne kvadrat (se billedet) er dannet af fire skrå linjer med parvis samme hældning.
- Hjørnerne er linjernes skæringspunkter.
- For at vise, at kvadratet har et areal på 1/5, må vi sætte papirets længde til 1.
- Foldelinjerne kan betragtes som rette linjer i et koordinatsystem.
- Vi kan nu forsøge at finde linjernes funktioner og skæringspunkter.
- Kender vi to punkter på en linje og dens funktion, kan vi beregne afstanden mellem dem.
- Og med bare en enkelt sidelængde kan vi beregne arealet af den grønne firkant.
Vi skal bruge tre formler:
Formlen for en ret linje:
y = ax + b.
Formlen for hældningskoefficienten:
.
Afstandsformlen:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Tre linjer definerer en sidelængde i tatoen.
Vi kan nøjes med at fokusere på tre linjer: a, b og c. Deres skæringspunkter angiver tatoens sidelængde.
Der hvor funktionerne for a og c giver samme resultat findes det ene punkt.
Der hvor funktionerne for b og c giver samme resultat findes det andet punkt.
For at bestemme en linjes funktion, skal man finde linjens hældningskoefficient og skæringspunkt med y-aksen.
Find hældningskoefficienten for linjen a
I formlen for hældningskoefficienten skal vi bruge to koordinatsæt, som ligger på linjen. I koordinatsystemet kan vi se, at linjen a skærer både (0,0) og (0.5, 1,0).
Disse to koordinatsæt kan vi bruge i formlen for hældningskoefficienten ():
og .
.
Nu ved vi, at hældningskoefficienten er 2. Det vil sige, at hver gang vi går 1 ud på x-aksen, stiger y-værdien med 2.
Find linje a's skæringspunkt med y-aksen.
(Dette kaldes også for linjens y-intercept.)
Vi bruger formlen for en ret linje: . Vi har allerede fundet hældningskoefficienten: m = 2. På pladserne for x og y indsætter vi et koordinatsæt, som ligger på linjen. Her bruges (0,0)
.
Hermed bliver funktionen for linje a:
Nu mangler vi at finde funktionerne for linje b og linje c. Prøv selv!
a: y = 2x
b: y = 2x - 1
c: y = -0,5x + 0,5
Nu kan vi finde koordinatsættet hvor a og c skærer hinanden, og hvor b og c skærer hinanden. Det gøres ved at sætte funktionerne lig hinanden. Først isolerer vi x. Derefter indsætter vi x-koordinaten i en af funktionerne og finder y-koordinaten.
a = c
Da vi er i allersidste ende ønsker at slutte med en brøk som bevis, omskrives alle tal her til brøker.
2x = -0,5x + 0,5
4/2 x = -1/2 x + 1/2
5/2 x = 1/2
(5/2 x) = (1/2)
5 x = 1
Indsæt x i f.eks funktionen for a. y = 2x
y = 2
Koordinatsæt 1 = (1/5, 2/5)
b = c
Da vi er i allersidste ende ønsker at slutte med en brøk som bevis, omskrives alle tal her til brøker.
2x - 1 = -0,5x + 0,5
20 x - 10 = - 5x + 5
20 x + 5 x = 5 + 10
25 x = 15
(25 x)/5 = 15/5
5 x = 3
x = 3/5
Indsæt x i f.eks funktionen for b. y = 2x - 1
y = 2
Koordinatsæt 2 = (3/5, 1/5)
Nu skal vi blot finde afstanden mellem de to koordinatsæt. Her findes der en god formel (Afstandsformlen), som vi kan benytte.
Afstandsformlen
Afstandsformlen er en matematisk formel, der bruges til at beregne afstanden mellem to punkter i et koordinatsystem. Formlen er baseret på Pythagoras' læresætning og kan bruges i både to og tre dimensioner.
(x1, y1) = (1/5, 2/5)
(x2, y2) = (3/5, 1/5)
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
d = √((3/5 - 1/5)² + (1/5 - 2/5)²)
d = √(2/5² + (-1/5)²)
d = √(4/25 + 1/25)
d = √(5/25)
Anskuelighed: Bevis med Saksen
Udover det algebraiske bevis kan man også prøve at klippe de overlappende sider af Tato-figuren ud. Ved at arrangere disse stykker kan man vise, at de præcist dækker Tato-figuren tre gange, hvilket visuelt bekræfter, at figurens areal er en tredjedel af original-papiret.