Huzita-Hatori-aksiomerne er origamiens grundsætninger.

De beskriver de grundlæggende operationer, der kan udføres, når man folder et stykke papir.

Det giver os et matematisk grundlag for origami og viser, at origami er i stand til at konstruere komplekse geometriske former.

 

Aksiomerne er som følger:

1. Givet to punkter kan du lave en foldning, der går gennem begge punkter.
2. Givet to punkter kan du lave en foldning, der placerer det ene punkt oven på det andet.
3. Givet to linjer kan du lave en foldning, der placerer den ene linje oven på den anden.
4. Givet et punkt og en linje kan du lave en foldning vinkelret på linjen, der går gennem punktet.
5. Givet to punkter og en linje kan du lave en foldning, der placerer det ene punkt på linjen og går gennem det andet punkt.
6. Givet to punkter og to linjer kan du lave en foldning, der placerer hvert punkt på sin respektive linje.
7. Givet et punkt og to linjer, kan du lave en foldning der placere punktet på den ene linje, og er vinkelret på den anden linje.

 

• Vidste du, at origami kan løse tredjegradsligninger, hvilket ligger ud over mulighederne for traditionelle konstruktioner med passer og lineal?

Origamiens Matematiske Fundament: Axiomerne

Origami, kunsten at folde papir, er meget mere end blot en kreativ hobby. Den er dybt forbundet med matematik, og denne forbindelse bliver særligt tydelig, når vi ser på origamiens grundlæggende folderegler, ofte kaldet origamiens aksiomer. Disse aksiomer beskriver de mest basale operationer, man kan udføre, når man folder papir. De kan ses som origamiens svar på geometriens værktøjer, ligesom passer og lineal bruges i klassiske geometriske konstruktioner. Ved at forstå disse grundlæggende folder, kan vi afdække den skjulte matematik i selv simple origami-modeller.

De mest anerkendte aksiomer er Huzita-Hatori (eller Huzita-Justin) aksiomerne, som består af syv grundlæggende foldemetoder. Hver af disse metoder opnår en specifik geometrisk konstruktion ved at referere til punkter og linjer på papiret.

Her er en gennemgang af de syv aksiomer, med eksempler der er velegnede til illustrationer:

• Aksiom 1: Fold en linje gennem to givne punkter.
  • Beskrivelse: Dette er den mest simple fold. Hvis du har markeret to punkter på dit papir, kan du lave en fold, der går præcis gennem begge punkter.
  • Matematisk betydning: Dette aksiom svarer til den klassiske geometriske konstruktion af en unik linjedefineret af to punkter. Med passeren og linealen tegner man en linje; med origami folder man den.
  • Eksempel til billede: Start med et stykke papir. Marker to punkter, A og B, med en blyant. Fold nu papiret, så punkterne A og B ligger præcis på foldelinjen. Skab en skarp fold. Når du folder papiret ud igen, har du konstrueret den lige linje, der forbinder A og B. Billedet kan vise papiret med punkterne A og B og derefter papiret foldet, så A og B ligger på folden.
• Aksiom 2: Fold et givet punkt på et andet givet punkt.
  • Beskrivelse: Vælg to punkter på papiret, P1 og P2. Fold papiret, så P1 ligger præcis oven på P2.
  • Matematisk betydning: Foldelinjen, der opstår fra denne operation, er den midtnormal til linjestykket, der forbinder P1 og P2. Det betyder, at foldelinjen er vinkelret på linjestykket P1P2 og går præcis gennem dets midtpunkt. Dette er en grundlæggende geometrisk konstruktion.
  • Eksempel til billede: Marker to punkter, P1 og P2. Fold papiret, så P1 lægges præcis ovenpå P2. Hold papiret mod lyset, hvis nødvendigt, for at se P1 gennem laget og justere, så P1 og P2 matcher. Lav folden. Når du folder ud, kan du tegne linjestykket P1P2 og observere, at folden skærer det på midten og er vinkelret på det. Billedet kan vise P1 og P2, papiret foldet med P1 over P2, og foldelinjen.
• Aksiom 3: Fold en given linje på en anden given linje.
  • Beskrivelse: Hvis du har to linjer (enten kanter på papiret eller tidligere folder), l1 og l2, kan du folde papiret, så l1 lægges præcis oven på l2 langs hele deres længde.
  • Matematisk betydning: Foldelinjen, der opstår, er vinkelhalveringslinjen for den vinkel, der dannes af l1 og l2 (hvis de skærer hinanden). Hvis linjerne er parallelle, er foldelinjen en linje midt imellem dem. Dette er en anden fundamental geometrisk konstruktion.
  • Eksempel til billede: Start med et kvadratisk papir (to par vinkelrette linjer). Vælg to tilstødende kanter som l1 og l2. Fold papiret, så l1 lægges præcis oven på l2. Lav folden fra hjørnet, hvor de mødes, udad. Folden vil halvere 90-gradersvinklen. Billedet kan vise papiret med to kanter, og hvordan den ene kant lægges på den anden for at skabe folden, og den resulterende foldelinje.
• Aksiom 4: Fold en given linje på en anden given linje, således at folden går gennem et givet punkt.
  • Beskrivelse: Du har to linjer, l1 og l2, og et punkt, P. Fold papiret, så l1 lægges præcis oven på l2, samtidig med at foldelinjen, du laver, går gennem punktet P.
  • Matematisk betydning: Dette aksiom muliggør konstruktionen af en tangent til en parabel. Hvis den ene linje (l1) er ledelinjen (direktricen) og punktet (P) er brændpunktet (fokus) for en parabel, så vil enhver fold, der bringer ledelinjen (l1) til at ligge på en tangent (l2), have brændpunktet (P) liggende på foldelinjen. Omvendt, hvis du folder ledelinjen (l1) til at ligge på en linje (l2) og folden går gennem brændpunktet (P), er l2 en tangent til parabelen.
  • Eksempel til billede: Tegn en linje l1 og et punkt P. Vælg en vilkårlig linje l2 (f.eks. en anden linje tegnet på papiret). Fold l1 oven på l2, mens du justerer papiret, så foldelinjen passerer gennem P. Dette kan kræve lidt øvelse. Denne fold alene er måske ikke intuitivt meningsfuld uden kontekst af parabelen. Et mere simpelt eksempel, der illustrerer handlingen: Fold en side af et kvadratisk papir (l1) oven på den modsatte side (l2), så folden går gennem et hjørne (P) [82, figur 1, del 4 viser P på folden og l1 på l2].
• Aksiom 5: Fold et givet punkt på en given linje.
  • Beskrivelse: Du har et punkt, P, og en linje, l. Fold papiret, så P lægges præcis på linjen l. Du kan røre papiret, mens du folder, for at justere P's position på l.
  • Matematisk betydning: Foldelinjen, der opstår, er igen en tangent til en parabel, hvor P er brændpunktet og l er ledelinjen. Ved at folde P til forskellige punkter på linjen l, kan du generere en række tangenter, der tilsammen vil danne en smuk kurve – en parabel.
  • Eksempel til billede: Tegn en linje l (f.eks. en af papirets kanter) og et punkt P (f.eks. midt på papiret). Fold P ned, så det rammer linjen l et vilkårligt sted. Lav folden. Gentag processen flere gange, hvor P lægges på forskellige punkter langs l. Billedet kan vise punktet P og linjen l, derefter en enkelt fold, hvor P rammer l, og endelig en række folder, der viser parabelens form.
• Aksiom 6: Fold et givet punkt på en given linje, således at en anden given linje føres gennem et andet givet punkt.
  • Beskrivelse: Du har to punkter, P1 og P2, og en linje, l1. Fold papiret, så P1 lægges præcis på linjen l1, samtidig med at en linje, der går gennem P2 (enten en eksisterende fold eller en tænkt linje), kommer til at ligge præcis på foldelinjen, du laver. Dette kræver ofte, at man justerer papiret, mens man udfører folden.
  • Matematisk betydning: Dette aksiom er mere kraftfuldt end de første fem. Det gør det muligt at løse problemer, der i klassisk geometri med passer og lineal er umulige. Specifikt kan dette aksiom bruge til at løse tredjegradsligninger og dermed konstruere længder, der involverer kubikrødder, som f.eks. kubikroden af 2 (relateret til fordobling af terningen) eller tredeling af en vilkårlig vinkel. Belochs fold er et eksempel på en fold, der udnytter denne egenskab.
  • Eksempel til billede: Dette aksiom er sværere at illustrere med et simpelt, visuelt forståeligt eksempel, da dets kraft ligger i løsningen af komplekse problemer. Billedet kunne vise de involverede elementer: punkterne P1, P2 og linjen l1, samt den resulterende foldelinje, der opnås ved at folde P1 til l1 og samtidig justere, så linjen gennem P2 falder på foldelinjen. Det konkrete folde-trin for at konstruere f.eks. kubikroden af 2 eller en vinkeltredeling kan tjene som et mere specifikt eksempel.
• Aksiom 7: Fold et givet punkt på en given linje, således at en anden given linje er vinkelret på foldelinjen.
  • Beskrivelse: Du har to punkter, P1 og P2, og en linje, l1. Fold papiret, så P1 lægges præcis på linjen l1, samtidig med at en linje, der går gennem P2, er vinkelret på foldelinjen, du laver. Ligesom aksiom 6 kræver dette simultan justering.
  • Matematisk betydning: Også dette aksiom er kraftfuldt og kan, ligesom aksiom 6, bruges til at løse tredjegradsligninger. Det giver yderligere muligheder for at konstruere længder og vinkler, der ikke er mulige med de første fem aksiomer alene.
  • Eksempel til billede: Som med aksiom 6 er et simpelt, isoleret visuelt eksempel vanskeligt. Billedet kan vise de involverede elementer: punkterne P1, P2 og linjen l1, samt den resulterende foldelinje, der er skabt, og en indikation af vinkelretheden mellem en linje gennem P2 og foldelinjen.

Disse syv aksiomer udgør et formelt system, der definerer, hvad der kan konstrueres med origami. Mens de første fire aksiomer svarer til konstruktioner, der kan udføres med passer og lineal (svarende til at løse andengradsligninger), er de to sidste aksiomer i stand til at løse tredjegradsligninger, hvilket giver origami en større konstruktiv kraft end klassisk euklidisk geometri.

Ved at arbejde med disse grundlæggende folder kan både lærere og elever få en konkret og taktil forståelse af matematiske begreber og konstruktioner. Det handler ikke kun om at skabe smukke former, men også om at udforske de præcise regler og mønstre, der ligger til grund for papirfoldningens kunst. Origamiaksiomerne viser elegant, hvordan simple, definerede handlinger kan føre til dyb og overraskende matematik. De er en central del af "broen mellem origami og matematik: præcision, mønstre og regler".