At folde en større omkreds

Forestil dig et kvadrat med sidelængde . Dets oprindelige omkreds er . Når vi folder papiret, antager man, at de nye ydre grænser enten vil være de samme som de oprindelige eller en delmængde heraf. Det virker logisk, at folder kun skjuler dele af papiret, hvilket burde reducere eller fastholde omkredsens størrelse.

Problemet og den intuitive antagelse

Ved første tanke virker det umuligt.

Dette skyldes, at foldelinjer inde i kvadratet ikke kan bidrage til den ydre omkreds.

Forestil dig nu et kvadrat med hjørnerne A, B, C og D. Enhver foldning vil ændre hjørnernes og kanternes position. Teoretisk set kan papiret være uendeligt tyndt og ustrækkeligt, forbliver den samlede “kantlængde” konstant. Problemet handler dog ikke om den samlede kantlængde, men om omkredsen af den flade 2D-projektion.

Den matematiske løsning

Løsningen, opdaget i begyndelsen af det 21. århundrede, viser, at det faktisk er muligt at øge omkredsen. Dette opnås ved at skabe en foldet figur med mange tynde “lapper” eller “spidser,” der strækker sig ud fra en central del. Disse lapper bidrager markant til en større samlet omkreds.

Robert J. Langs opdagelser

Robert J. Lang, en verdenskendt origami-kunstner og fysiker, var en af de første til at demonstrere dette i praksis. Ved at anvende den klassiske origami-fuglebase lykkedes det ham at øge omkredsen af et kvadrat med sidelængde 1 fra til cirka . Dette kan beregnes ved at analysere længderne af de nye ydre kanter.

Langs mest opsigtsvækkende opdagelse var, at omkredsen kan gøres vilkårligt stor. Dette opnås ved hjælp af en teknik kendt som "sink fold" eller "sunket fold." Ved at opdele et kvadratisk stykke papir i et gitter af små kvadrater og folde hver enkelt celle, kan man skabe spidser, der stikker ud. Jo flere celler, man skaber, desto flere spidser opstår, hvilket øger omkredsen betragteligt.

Matematisk kan dette forklares ved hjælp af grænseværdier. Forestil dig et kvadrat med sidelængde , opdelt i et gitter. Hver lille celle har sidelængden . Ved at folde hver celle til en spids skabes nye kanter, som strækker sig udad. Selvom hver spids kun udgør en brøkdel af den oprindelige sidelængde, akkumuleres deres bidrag til omkredsen, da både spidsens for- og bagside tæller med.

Med lapper kan den samlede omkreds beskrives som:

,

hvor repræsenterer bidraget fra hver enkelt lap. Selvom (omkredsen af den centrale sammenfoldede del) bliver mindre, vokser bidraget fra lapperne eksponentielt. I Langs "søpindsvin-lignende" konstruktion, hvor antallet af lapper kan være meget stort, vokser omkredsen næsten lineært med antallet af lapper.

Alexei Tarasovs matematiske bevis

Den endelige og stringente løsning blev leveret af Alexei Tarasov, der beviste problemet inden for rammerne af "stiv origami". Her strækkes eller bøjes papiret ikke, og folderne er skarpe og nøjagtige.

Tarasovs løsning bygger på fraktalgeometri og grænseværdier. Han viste, at ved at skabe en uendelig række af mindre og mindre lapper langs kanterne, kan man opnå en omkreds, der teoretisk vokser mod uendelighed.

Forestil dig at starte med et kvadrat. Først foldes det, så to spidser opstår. Derefter foldes der yderligere spidser ud fra hver af de oprindelige spidser. Ved at gentage denne proces skabes en evigt voksende række af lapper.

Hvis repræsenterer den oprindelige omkreds, og er omkredsen efter første foldning, hvor en spids af længden opstår, vil:

.

Hver ny iteration tilføjer yderligere længde, mens kun små dele af de oprindelige kanter skjules. Ved at fortsætte processen uendeligt kan den samlede omkreds udtrykkes som en geometrisk række:

,

hvor er omkredsen af den centrale del, og er længden af den -te lap. Tarasov viste, at det er muligt at vælge foldningsteknikker, så summen divergerer, hvilket giver en omkreds, der kan blive vilkårligt stor.

Dette demonstrerer, at den intuitive antagelse om en begrænset omkreds er forkert. Matematikken viser, at en figur med et endeligt areal kan have en uendelig lang omkreds ved hjælp af en konstruktion fyldt med små, skarpe detaljer. Dette er et fascinerende eksempel på et matematisk paradoks, med rødder i fraktalgeometri, som det klassiske Koch-snefnug.

 

Matematikken bag servietproblemet: En pædagogisk guide til et foldbart mysterium 🧐

Har du nogensinde spekuleret over, om du ved at folde et stykke papir kan få omkredsen af det foldede papir til at blive større end den oprindelige? 🤔 Det lyder måske vanvittigt, men det er præcis, hvad "servietproblemet" handler om! Dette problem, som også er kendt som Margulis' servietproblem eller Arnolds' rubelproblem, er et fascinerende eksempel på, hvordan den simple kunst at folde papir – origami – gemmer på dyb og kompleks matematik. Lad os dykke ned i mysteriet sammen! 🤓

 

 

Hvad er servietproblemet?

 

Forestil dig, at du har et kvadratisk stykke papir. Måske en serviet. Omkredsen er fire gange sidelængden. Spørgsmålet er nu: Kan du folde papiret, så omkredsen af den foldede figur bliver større end den oprindelige? Svaret er et rungende ja, og det er her, magien (og matematikken) kommer ind! ✨

Problemet blev formuleret i 1956 af den russiske matematiker Vladimir Arnold, men det viste sig, at origami-kunstnere allerede havde løst det mange år tidligere.

 

 

Præcisering af begreber: "Foldning" og "omkreds"

 

For at forstå problemet er det afgørende at præcisere to nøglebegreber: foldning og omkreds.

 

Omkredsen af en 2D-projektion

 

Det altafgørende trick er, at vi ikke måler den samlede omkreds af alle de indre folder og "krøller". Vi måler derimod omkredsen af en 2D-projektion af den foldede 3D-figur. Du skal forestille dig, at du presser det foldede papir helt fladt ned på et bord og derefter måler omkredsen af den silhuet, du ser. Den ydre kant af denne silhuet er det, vi kalder omkredsen. Uden denne definition er det umuligt at løse problemet.

 

Forskellige typer af foldning

 

Matematikere har kigget på flere forskellige måder at folde papir på:

  • "Stiv origami" (rigid origami): Dette er den strengeste fortolkning. Her ser man på papiret som en serie af flade, stive plader, der er forbundet med hængsler. Papiret kan altså ikke strækkes, bøjes eller midlertidigt deformeres. Det er som at folde et stykke stål. I 2004 beviste Alexei Tarasov, at selv under disse strenge betingelser kan omkredsen gøres vilkårligt stor.
  • "Ikke-stiv" foldning (non-rigid folding): Her tillader man midlertidig bøjning og strækning af papiret undervejs i foldeprocessen. Teknikker som "sink folds", hvor man laver folder, der synker ned i papiret, kan bruges til at øge omkredsen. Robert J. Lang, en anerkendt origami-kunstner, viste i 1997, at man ved hjælp af disse teknikker også kan opnå en vilkårligt stor omkreds.

 

 

Hvordan forøger man omkredsen?

 

Matematikere og origami-kunstnere har fundet flere smarte metoder til at løse servietproblemet.

 

Robert J. Langs "søpindsvin"

 

En af de mest kendte løsninger er Robert J. Langs "søpindsvin" (Sea Urchin) konstruktion. Forestil dig, at du opdeler dit oprindelige kvadrat i mange, mange mindre kvadrater. Ved at bruge en teknik kaldet "sink folds" kan du lave et væld af små "flapper", der stikker ud. På den måde skaber du en figur med en utroligt lang og kompliceret kantlinje. Jo flere små kvadrater du deler papiret i, jo større kan omkredsen blive.

For eksempel kan en konstruktion med N=5 (dvs. et gitter på 5×5 små kvadrater) resultere i en omkreds på omkring 6,25, hvor den oprindelige var 4. Teorien viser, at denne omkreds kan vokse til uendelighed, men i praksis sætter papirets tykkelse en grænse for, hvor mange gange man kan folde.

 

Fraktaler og uendelighed

 

Nogle matematiske løsninger er inspireret af fraktale kurver, som har en uendelig længde, selvom de passer ind i et afgrænset område. En kendt fraktal er Hilbert-kurven, der snoer sig som en labyrint. Nogle af de mønstre, der bruges til at øge omkredsen, minder om disse fraktale kurver. Det giver os en fornemmelse af, hvordan en simpel foldning kan føre til en omkreds, der teoretisk set kan blive uendeligt lang. 😲

 

 

Servietproblemet i den større matematiske kontekst

 

Servietproblemet er et fremragende eksempel på, hvordan origami – den gamle kunst at folde papir – har en dyb og kompleks forbindelse til matematik. Det belyser en fascinerende og kontraintuitiv del af denne matematiske disciplin, hvor den "simple" handling at folde papir åbner op for en verden af kompleks geometri og avancerede beviser. Selvom de fysiske begrænsninger af papirets tykkelse sætter grænser i praksis, viser den teoretiske matematik bag problemet, at omkredsen kan gøres uendeligt stor.

Så næste gang du ser et stykke papir, husk at det ikke kun er til at skrive på. Det gemmer på en verden af fascinerende geometri og kan lære os utroligt meget om matematik. Hvem skulle have troet, at et simpelt stykke papir kunne indeholde et uendeligt potentiale? ♾️