Parabler
Måske har du aldrig prøvet det før, men det er faktisk ikke så svær at folde dig frem til en parabel.
Det kan (for de ældste elever) give en god forståelse af, hvad vigtige elementer som ledelinje, fokus, tangent, og parabel-kurven er for noget.
Læren om parabler hører til i de ældre klasser, og kan være for komplekst for yngre børn.
Ældre elever kan springe ned på siden, og læse om parabler.
Yngre elever kan i stedet prøve de sjove tegneøvelser der er linket til nederst på siden.
Fold en parabel
Matematisk set kan en parabel defineres som et sæt af punkter, der alle ligger lige langt fra både et fast punkt (fokus) og en fast linje (direktrise).
Forestil dig, at du nu folder et tilfældig sted på den faste linje op til fokus-punktet. Derefter folder du et nyt sted på linjen op til fokuspunktet, og fortsætter på samme måde. Alle foldelinjer vil da fungere som tangenter til en parabelkurve. For at folde en tangent til en parabel skal du bruge et punkt (fokus) og en linje (direktrisen).
De foldede linjer vil alle være tangenter til en parabel. En tangent er en ret linje, der berører parablens kurve i præcis ét punkt.
Dette punkt kaldes ofte for tangentpunktet. Uden at folde, skal man typisk kende parablens ligning, som ofte har formen y = ax² + bx + c for at tegne en tangent..
Sådan gør du:
- Brug fx et A4-papir
- Lad kanten af papiret være direktrisen.
- Marker et punkt på papiret som fokus.
- Fold direktrisen op til fokuspunktet gentagne gange.
- De folder du laver, vil være tangenter til parablen.
- Du vil nu se en parabel tage form.
- Når du har har fået lavet flere fold, vil der dannes en parabel, da foldelinjerne (tangenterne) alle ligger forskellige steder på parablens kurve.
Parabler - forstå begreberne!
En parabel er en fascinerende matematisk kurve. Den kan ses mange steder – fra den måde en bold kastes på, til designet af lommelygter og satellitantenner. Men hvad er en parabel egentlig?
Den kan defineres på flere måder, som alle beskriver den samme unikke kurve.
Forskellige definitioner af en parabel:
Geometrisk definition (som Keglesnit):
Forestil dig en kegle, der står på spidsen. Hvis du skærer denne kegle med et snit, der er præcis parallelt med keglens side, vil snitfladen danne en parabel. Dette viser parablen som en af de fire klassiske keglesnit (cirkel, ellipse, parabel, hyperbel).
Geometrisk definition: (med Fokus og Ledelinje):
En parabel er mængden af alle punkter i et plan, der har præcis den samme afstand til et bestemt, fast punkt (kaldet fokus eller brændpunkt) og til en bestemt, fast linje (kaldet ledelinjen eller direktrisen). Denne definition er helt fundamental og forklarer, hvorfor parablen har sin specielle form og egenskaber.
Algebraisk definition:
I matematik og især i skolen kender vi ofte parablen som grafen for en andengradsligning. Den mest almindelige form er y = ax² + bx + c. Denne ligning beskriver kurven i et koordinatsystem.
Parablens Ligninger
For at arbejde med parabler i et koordinatsystem bruger vi ligninger. De to vigtigste former er: Standardformen og Toppunktsformen.
Standardformen: y = ax² + bx + c
Her fortæller koefficienten 'a' os, hvor stejl eller bred parablen er.
- Jo større 'a' er, - jo smallere er parablen.
- Hvis 'a' er positiv, åbner parablen opad (som en "glad mund").
- Hvis 'a' er negativ åbner parablen nedad (som en "sur mund").
- Koefficienten 'b' bestemmer parablens vandrette placering.
- Konstanten 'c' er nem at forstå – den fortæller os præcis, hvor parablen skærer y-aksen.
Toppunktsformen: y = a(x-h)² + k
- Denne form er utrolig smart! Fra ligningen kan du direkte aflæse koordinaterne til parablens toppunkt, som er punktet (h, k).
- 'a' har samme betydning som i standardformen.
Vandrette Parabler:
Parabler behøver ikke kun åbne opad eller nedad. De kan også åbne til højre eller venstre. Deres ligninger ser lidt anderledes ud, da x og y bytter roller. De åbner til højre, hvis a > 0, og til venstre, hvis a < 0.
Toppunkt, Fokus og Ledelinje
I forhold til en geometrisk definition, er der tre fundamentale elementer, der definerer en parabels form:
- Toppunktet (V): Toppunktet ligger præcist på parablens symmetriakse. Det er det laveste punkt på parablen, hvis den åbner opad, eller det højeste punkt, hvis den åbner nedad. Man siger også, at det er punktet, hvor parablen "vender".
- Fokus (F) / (Brændpunktet): Fokus er det faste punkt, der ligger "inde i" parablens "skål".
- Ledelinjen (D) / (Direktrisen): Dette er den faste linje, der ligger "bagved" parablen, på den modsatte side af toppunktet i forhold til fokus.
Den Vigtigste Egenskab: For ethvert punkt P på parablen gælder, at afstanden fra P til Fokus (PF) er præcis lig med den vinkelrette afstand fra P til Ledelinjen (PD). Dette er kernen i parablens form! Man kan også udlede, at toppunktet altid ligger præcis midt imellem fokus og ledelinjen.
Forbindelsen mellem Ligning og Geometri:
Der findes en vigtig formel, der bygger bro mellem parablens ligning (repræsenteret ved koefficienten 'a' i toppunktsformen) og dens geometriske egenskaber (afstanden mellem toppunktet og fokus/ledelinjen).
Hvis vi kalder afstanden fra toppunktet til fokus (og dermed også til ledelinjen) for 'c' (eller ofte 'p' i nogle kilder), gælder formlen: a = 1 / (4c) Denne formel viser, hvordan parablens "åbning" (bestemt af 'a') er direkte relateret til placeringen af dens fokus og ledelinje.
Skæringspunkter med Akserne
Parablen kan skære koordinatakserne. At finde disse skæringspunkter hjælper med at placere parablen på en graf.
- For at finde skæringspunkterne med x-aksen, skal du finde de punkter, hvor parablens y-værdi er nul:
Du sætter altså y=0 i parablens ligning (0 = ax² + bx + c) og løser den resulterende andengradsligning for x.
Afhængig af ligningen kan der være nul, et eller to skæringspunkter med x-aksen.
- For at finde skæringspunktet med y-aksen, skal du finde det punkt, hvor parablens x-værdi er nul.
Du sætter x=0 i ligningen. I standardformen y = ax² + bx + c bliver dette y = a(0)² + b(0) + c, hvilket simplificerer til y = c. Altså skærer parablen y-aksen i punktet (0, c). En parabel har altid præcis ét skæringspunkt med y-aksen.
Omskrivning ved Kvadratkomplettering
En meget anvendelig algebraisk teknik, når man arbejder med parabel-ligninger i standardformen (y = ax² + bx + c), er kvadratkomplettering (også kaldet "completing the square"). Denne proces gør det muligt at omskrive ligningen til toppunktsformen (y = a(x-h)² + k). Toppunktsformen er særligt "smart", fordi den direkte afslører parablens toppunkt – det laveste punkt (hvis parablen åbner opad) eller det højeste punkt (hvis den åbner nedad).
Koordinaterne for toppunktet er (h, k), som kan aflæses direkte fra ligningen i denne form, husk blot at være opmærksom på fortegnene for h og k i parenteserne. Tallet a i toppunktsformen er det samme som a i standardformen og fortæller dig stadig, om parablen åbner opad (hvis a > 0) eller nedad (hvis a < 0), samt hvor stejl eller bred den er.
Eksempler på brug af parabel-kurver i samfundet:
Lysrefleksion: Hvis lysstråler udgår fra fokus, vil de ensrettes og sendes ud af parablen i samme retning. Dette er meget nyttigt til at samle og rette lysstråler. Det kender vi f.eks. fra billygter og lommelygter.
Satellitparaboler: Satellitantenner, som f.eks. dem, der bruges til at modtage tv-signaler, er ofte paraboliske, fordi de, modsat refleksion kan fokusere signalet på en modtager i fokuspunktet, Det gør signalet stærkere og mere præcist.
Kastebaner: Et objekt, der kastes op i luften under påvirkning af tyngdekraften, vil følge en parabolsk kurve. Dette kan f.eks. være en bold, der kastes, eller et projektil i fysik. Dog skal der tages højde for luftmodstand.
GeoGebra
Du kan eksperimentere med forskellige værdier for en parabel i GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/mpcxvpmu
Tegn parabel-tegninger
På siden Sparklingbots.com er der sjov inspiration til tegneøvelser, hvor du kan eksperimentere med parabel-tegninger. Der er mange templates, som du kan downloade for at komme i gang.