le er en del af præcis én niveau 2-trekant. Hver af disse er en del af præcis én niveau 3-trekant, og så videre, i en hierarkisk struktur. Så uanset hvor stor en translation du laver, er der altid en trekant større end translationen, hvilket betyder, at efter translationen vil den overlappe, hvor den var før. Hvis der er translationssymmetri, skal flisningen forblive uændret, hvilket betyder, at begge former er til stede samtidigt i originalen. Men for at det kan være sandt, ville trekanter inden for overlapningen være en del af to niveau 3-trekanter, hvilket modsiger den hierarkiske struktur. Derfor kan flisningen umuligt have translationssymmetri.
Noget lignende gælder for Robinson-fliserne. Hvis vi markerer fliserne med farverige linjer, kan vi se et mønster. I midten af hver lyserød firkant er et hjørne af en større lyserød firkant, og så videre. Der er også den hierarkiske natur af Penrose-flisningen, da det er sådan, vi oprindeligt formulerede den. At bevise, at matchningsreglerne nødvendigvis resulterer i den nævnte hierarkiske struktur, er meget mere vanskeligt, men stadig muligt. Hvad angår den aperiodiske monotil, vil du, hvis du ser nærmere efter, bemærke nogle strukturelle mønstre. Hvis du konverterer disse strukturer til fire forskellige typer fliser, afsløres dens hierarkiske struktur. Den aperiodiske monotil viser virkelig, hvorfor jeg kan lide flisebelægning så meget. Dens skaber, David Smith, er ikke engang en professionel matematiker, men snarere en geometrientusiast, og alligevel fik han årets største matematiske gennembrud ved simpelthen at rode rundt med former. Det viser, hvordan flisebelægning ikke kun er sjove at udvikle og smukke at se på, men de har også potentiale til at afsløre dybe matematiske sandheder om vores univers.
Med andre ord, jeg elsker fliser. Hvis du har set med så langt, elsker du tydeligvis også fliser, og i så fald har jeg en ret spændende meddelelse, nemlig at jeg har lavet en Discord-server til fans af mit indhold. Jeg vil have, at det skal blive et sjovt sted at hænge ud og tale om matematik og naturvidenskab eller andre irrelevante ting. Jeg vil have et link i den fastgjorte kommentar, så du er velkommen til at deltage. Med det overstået er vi nået til slutningen af videoen. Dette blev ved et uheld min længste...
Det er en fremragende udfordring. Tessellation med konvekse pentagoner er et dybt matematisk emne, og klassificeringen af de 15 kendte typer repræsenterer en hundrede år lang intellektuel rejse.
Her er en omarbejdet og uddybende tekst, der fokuserer på matematikken i hver af de 15 kendte typer af konvekse pentagoner, der kan tessellere planet (dække planet med identiske kopier uden overlap eller huller).
Klassificering af de 15 Typer af Konvekse Pentagoner, der Tessellerer
Konvekse polygoner er figurer, hvor alle indre vinkler er mindre end $180^{\circ}$ (alle hjørner stikker ud). Mens alle trekanter og firkanter kan tessellere, og kun tre typer konvekse sekskanter kan tessellere, er femkanter de mest komplekse konvekse polygoner i denne kategori. Den regulære femkant kan ikke tessellere, da dens indre vinkel ($108^{\circ}$) ikke er en divisor af $360^{\circ}$.
Listen over de 15 typer blev afsluttet i 2015 med opdagelsen af Type 15, og Michaël Rao beviste i 2017 ved hjælp af computer-assisteret matematik, at listen er komplet for periodiske tessellationer af konvekse pentagoner.
For at en pentagon skal kunne tessellere, skal den opfylde to geometriske hovedbetingelser:
- Summen af pentagonens indre vinkler skal være $540^{\circ}$.
- Når pentagonerne mødes i knudepunkter, skal summen af vinklerne omkring hvert knudepunkt være $360^{\circ}$ (eller $180^{\circ}$, hvis knudepunktet falder midt på en kant).
Hver "type" refererer til en familie af pentagoner defineret af et sæt betingelser for deres vinkler ($A, B, C, D, E$) og/eller sidelængder ($a, b, c, d, e$), hvor siderne er mærket med uret fra den modstående vinkel.
Karl Reinhardt (1918): De Første Fem Typer (Type 1-5)
Den tyske matematiker Karl Reinhardt startede søgningen og identificerede de første fem familier (Type 1-5) i sin doktorafhandling i 1918. Disse fem typer er unikke, idet de er de eneste, der kan skabe isohedrale tessellationer (hvor mønsterets symmetrier kan transformere enhver flise til enhver anden flise).
Type 1: $B + C = 180^{\circ}, A + D + E = 360^{\circ}, c = e$
Type 1 er kendetegnet ved, at to af dens vinkler er komplementære ($B+C=180^{\circ}$), mens de resterende tre vinkler summerer til $360^{\circ}$. For at opretholde tessellationen er sidelængderne $c$ og $e$ desuden lig hinanden. Type 1 er bemærkelsesværdig, fordi den kan understøtte mange forskellige topologier og geometriske variationer. Femten af de 24 kendte isohedrale pentagon-tessellationstyper er faktisk specialtilfælde af Type 1.
Type 2: $B + D = 180^{\circ}, c = e$
Ligesom Type 1 har Type 2 to komplementære vinkler ($B+D=180^{\circ}$). Dette skaber et mønster med pgg ($22\times$) symmetri. En speciel variant af Type 2, hvor alle fem sider er lige lange ($b=c=d=e$ og $a$ er fri, men hvis $a=c$, er pentagonen ligesidet), kan også tessellere. Nogle kilder klassificerer Cairo-tessellationen som et specialtilfælde af Type 2. Type 2 tillader parameterindstillinger, der kan resultere i ikke-konvekse prototiler i grænsetilfældene.
Type 3: $A = C = D = 120^{\circ}, a = b, d = c + e$
Type 3 er yderst begrænset i sine vinkler: tre vinkler er fastsat til $120^{\circ}$. Dette tvinger de to resterende vinkler, $B$ og $E$, til at variere (sum $180^{\circ}$). Den har desuden sidelængdebegrænsningerne $a=b$ og $d=c+e$. Denne type danner en 3-fliset primitiv enhed med $p3$ (333) symmetri.
Type 4: $B = D = 90^{\circ}, b = c, d = e$
Type 4 er vigtig i litteraturen, da den er nært beslægtet med Cairo-tessellationen. Den defineres ved to ikke-tilstødende rette vinkler ($B=D=90^{\circ}$). Siderne, der udgår fra disse rette vinkler, er parvis lige lange: $b=c$ og $d=e$. Type 4 kan danne isohedrale tessellationer og er ofte noteret med $p4g$ ($4\ast 2$) symmetri. Bemærkelsesværdigt er, at den ideelle Cairo-tessellation (dual til Snub Square-tessellationen), som har vinklerne $120^{\circ}, 120^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 90^{\circ}$, falder ind under Type 4, hvis man accepterer, at den kun skal have to ikke-tilstødende rette vinkler.
Type 5: $A = 60^{\circ}, D = 120^{\circ}, a = b, d = e$
Type 5 kræver to specifikke vinkler: $A=60^{\circ}$ og $D=120^{\circ}$. Sidebegrænsningerne er $a=b$ og $d=e$. Den danner en 6-fliset primitiv enhed med $p6$ (632) symmetri. Denne type pentagon er en del af floret-tessellationen, dualen til en Archimedes-tessellation.
Richard Kershner (1968): Type 6, 7 og 8
Kershner opdagede yderligere tre typer (Type 6, 7 og 8) i 1968. Han hævdede fejlagtigt, at listen nu var fuldstændig. Disse tessellationer er kendt for at være 2-isohedrale og kant-til-kant.
Type 6: $B + D = 180^{\circ}, 2B = E, a = d = e, b = c$
Type 6 deler den komplementære vinkelbetingelse $B+D=180^{\circ}$ med Type 2. Den har dog yderligere begrænsninger, hvor vinkel $E$ er dobbelt så stor som $B$ ($2B=E$) og specifikke sidelængder er ens ($a=d=e$ og $b=c$). Denne type danner en 4-fliset primitiv enhed med $p2$ (2222) symmetri.
Type 7: $B + 2E = 360^{\circ}, 2C + D = 360^{\circ}, b = c = d = e$
Type 7 introducerer betingelser, hvor vinkler kombineres for at danne $360^{\circ}$. Betingelserne er $B+2E=360^{\circ}$ og $2C+D=360^{\circ}$, og den har fire lige lange sider ($b=c=d=e$). Denne type kan også være chiral (ikke identisk med sit spejlbillede), hvilket reducerer dens symmetri fra $pgg$ ($22\times$) til $p2$ (2222).
Type 8: $2B + C = 360^{\circ}, D + 2E = 360^{\circ}, b = c = d = e$
Type 8 har en struktur, der ligner Type 7, men med forskellige kombinationer af vinkler, der summerer til $360^{\circ}$. Betingelserne er $2B+C=360^{\circ}$ og $D+2E=360^{\circ}$, og den deler fire lige lange sider ($b=c=d=e$) med Type 7. Den er også 2-isohedral og chiral, hvilket betyder, at mønsteret består af et lige antal fliser og deres spejlbilleder.
Richard E. James III (1975): Type 10
Efter at have læst om Kershners påstand i Scientific American, opdagede Richard E. James III en ny type, som blev klassificeret som Type 10.
Type 10: $A = 90^{\circ}, B + E = 180^{\circ}, B + 2C = 360^{\circ}, a = b = c + e$
Type 10 er defineret ved en ret vinkel ($A=90^{\circ}$), komplementære vinkler ($B+E=180^{\circ}$) og yderligere vinkelrelationer ($B+2C=360^{\circ}$). Sidelængdebetingelsen $a=b=c+e$ er en lineær sum af sidelængder. Denne type er 3-isohedral (3 transitivity classes) og er ikke-kant-til-kant.
Marjorie Rice (1976-1977): Type 9, 11, 12 og 13
Marjorie Rice, en amatørmatematiker, trådte ind i debatten og opdagede yderligere fire typer (Type 9, 11, 12, 13) ved at udvikle sin egen notation og metode.
Type 9: $2A + C = 360^{\circ}, D + 2E = 360^{\circ}, b = c = d = e$
Type 9 har vinkelrelationer, der involverer multipler af vinkler, der summerer til $360^{\circ}$. Den deler sidelængden $b=c=d=e$ med Type 7 og 8. I modsætning til Type 10 er Type 9 en kant-til-kant tessellation. Den er 2-isohedral og chiral.
Type 11: $A = 90^{\circ}, 2B + C = 360^{\circ}, C + E = 180^{\circ}, 2a + c = d = e$
Type 11 har en ret vinkel ($A=90^{\circ}$), komplementære vinkler ($C+E=180^{\circ}$) og en vinkelrelation ($2B+C=360^{\circ}$). Sidelængdebetingelsen er $2a+c=d=e$. Ligesom de andre Rice-typer er den 2-isohedral og ikke-kant-til-kant.
Type 12: $A = 90^{\circ}, 2B + C = 360^{\circ}, C + E = 180^{\circ}, 2a = d = c + e$
Type 12 har de samme vinkelbetingelser som Type 11. Forskellen ligger i sidelængdebetingelsen, som er $2a=d=c+e$. Den er 2-isohedral og ikke-kant-til-kant.
Type 13: $B = E = 90^{\circ}, 2A + D = 360^{\circ}, d = 2a = 2e$
Type 13 er defineret ved to tilstødende rette vinkler ($B=E=90^{\circ}$). Dette er usædvanligt, da mange pentagon-tessellationer foretrækker ikke-tilstødende rette vinkler for at opnå isohedri. Den er 2-isohedral og ikke-kant-til-kant.
Rolf Stein (1985): Type 14
Rolf Stein opdagede den 14. type.
Type 14: $A = 90^{\circ}, 2B + C = 360^{\circ}, C + E = 180^{\circ}, 2a = 2c = d = e$
Type 14 har de samme vinkelbetingelser som Type 11 og 12. Den er dog geometrisk strengere defineret af sidelængdebetingelsen $2a = 2c = d = e$. Denne type er fuldstændig bestemt og har ingen frihedsgrader i vinkler eller sidelængder. Den er 3-isohedral og ikke-kant-til-kant.
Mann, McLoud og Von Derau (2015): Type 15
Type 15 blev fundet ved hjælp af en computerbaseret udtømmende søgning i 2015.
Type 15: $A = 150^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 135^{\circ}, D = 105^{\circ}, E = 90^{\circ}, a = c = e, b = 2a$
Type 15 er også fuldstændig bestemt og har ingen frihedsgrader. Vinklerne er fastsat som henholdsvis $150^{\circ}, 60^{\circ}, 135^{\circ}, 105^{\circ}, 90^{\circ}$, og siderne har relationen $a=c=e$ og $b=2a$. Denne type er 3-isohedral (med 6 farver/aspekter, der repræsenterer chirale par af de tre isohedrale positioner) og er ikke-kant-til-kant.
Cairo Flisen (Cairo Tessellation)
Cairo-tessellationen er et monohedralt pentagonal mønster, berømt for at optræde som fliser på gader og i islamiske dekorationer i Cairo. Den kaldes også MacMahon's net eller 4-fold pentille. Uendeligt mange forskellige pentagoner kan danne Cairo-mønsteret.
Matematik og Dualitet
Den ideelle form for Cairo-flisen er matematisk defineret som dualen af den semi-regulære Snub Square-tessellation ($V3.3.4.3.4$), som er en Archimedes-tessellation. At den er dual til en Archimedes-tessellation betyder, at den klassificeres som en Catalan-tessellation eller Laves-tessellation.
Cairo-flisen (den duale til Snub Square) har præcise geometriske egenskaber:
- Vinkler: Den har tre vinkler på $120^{\circ}$ og to vinkler på $90^{\circ}$.
- Sidelængder: Den har fire lige lange sider og én kortere side, hvor forholdet mellem den lange og den korte side er $1:(\sqrt{3}-1)$ (ca. 1:0.732).
- Optimal Egenskab: Denne specifikke form af Cairo-flisen minimerer omkredsen af fliserne, når de har enhedsareal, sammenlignet med alle andre pentagon-tessellationer.
Cairo-mønsteret er isohedralt, hvilket betyder, at alle fliser er symmetrisk relaterede i mønsteret. Pentagonerne, der danner Cairo-tessellationen, falder ind under Type 4 og Type 2 i klassificeringen af de 15 tessellerende pentagoner.
- Type 4-forbindelse: Den ideelle Cairo-flise med to ikke-tilstødende rette vinkler falder under Type 4. Den kan også bruges til at dække overfladen af en dodekaeder, da 12 af disse fliser, foldet over kanterne af en indskreven terning, kan danne den samme kombinatoriske struktur som en regulær dodekaeder.
Alternative Geometrier og Anvendelser
Ud over den ideelle form findes Cairo-tessellationen i en variant med kollineære kanter, som ofte blev brugt som brolægning i Cairo. I denne form er hver kant på linje med uendeligt mange andre kanter i mønsteret, og den dannes ved at fladtrykke to vinkelrette sekskantede tessellationer.
Cairo-tessellationen har moderne anvendelser, herunder:
- Materialevidenskab: Mønsteret er blevet studeret som en krystalstruktur. Hypotesen om Penta-graphene (et kulstofallotrop med femkanter i et Cairo-lignende mønster) og den eksperimentelle syntese af nikkel diazenid ($\text{NiN}_2$), som danner atomtykke lag i en ideal Cairo-tessellation med rumgruppen $P4/mbm$, viser dens relevans i nanoteknologi.
- Origami: Cairo-fliser er populære som origami-fliser og kan foldes fra forskellige papirformater, herunder firkanter, sølvretangler (1:$\sqrt{2}$) og rester (1:$\sqrt{2}+1$). Nogle instruktioner fører til en flise med vinklerne $120^{\circ}, 120^{\circ}, 90^{\circ}, 120^{\circ}, 90^{\circ}$ og sidelængdeforholdet $1:(\sqrt{3}-1)$.