Kazuo Haga og Origamiens Videnskab (Origamics)

Professor Kazuo Haga (University of Tsukuba, Japan) er grundlæggeren af den videnskabelige genre inden for papirfoldning, som han i 1994 døbte "Origamics". Hans arbejde har revolutioneret vores forståelse af, hvordan et enkelt fold kan løse komplekse geometriske problemer, som ellers ville kræve både passer og lineal.

Elegancen i ét enkelt fold

Hagas mest berømte opdagelse er Hagas første teorem. Ved blot at foretage ét præcist fold – hvor det nederste højre hjørne placeres præcis på midtpunktet af den øverste kant – opstår en række matematiske proportioner helt af sig selv.

Dette enkle fold opdeler papirets kanter i faste brøkdele som 1/3, 2/3, 3/5 og 3/8. Det mest overraskende er, at metoden er langt mere præcis end at forsøge at måle sig frem med en lineal, fordi den hviler på uomtvistelige geometriske principper som Pythagoras' læresætning og teorien om ensvinklede trekanter.

De tre fundamentale teoremer

Haga nøjedes ikke med ét teorem. Han udviklede tre centrale metoder til at opdele papiret:

Fra intuition til bevis

Hagas tilgang handler om opdagelsesbaseret læring. I Origamics starter vi med et eksperiment ("Hvad sker der, hvis jeg gør sådan her?"), følger op med en formodning og ender med et matematisk bevis.

Uanset om du er matematiker, kunstner eller studerende, giver Hagas metoder en dyb indsigt i den skjulte geometri, der ligger gemt i et helt almindeligt kvadratisk stykke papir. Det er ikke bare papirfoldning – det er geometri i aktion.

1. Hagas første teorem (Haga's First Theorem)

Dette teorem fokuserer på hvordan man kan forstå, hvad der sker, når vi omhyggeligt placerer et specifikt hjørne på den modstående kant.

• Handlingen: Tag det nederste højre hjørne og placer det på et vilk&aringrligt punkt $P$ på den øverste kant af papiret.

• Geometrien: Når du laver denne fold, opstår der pludselig tre retvinklede trekanter langs papirets kanter, som alle fremkommer som resultat af foldningen.

• Opdagelsen: Haga beviste, at disse tre trekanter altid er ligedannede (de har de samme vinkler, blot i forskellige størrelser), hvilket er en bemærkelsesværdig egenskab. Det er netop dette forhold, der gør det muligt at udregne præcise brøker som for eksempel ⅓ eller ⅕, som vi så tidligere har diskuteret.

2. Hagas andet teorem (Haga's Second Theorem)

Her kigger vi nårt på, hvad der præcist sker, når vi folder en linje, der forbinder et hjørne med et specifikt punkt på en modstående side af papiret.

• Handlingen: Forestil dig et punkt $P$ på den øverste kant af papiret. Fold nu papiret s&aringledes, at den nederste kant går præcis gennem punktet $P$, mens det nederste venstre hjørne føres op til at ligge på den højre sidekant af papiret.

• Geometrien: Dette skaber en foldelinje, der skærer papiret i en bestemt vinkel, hvilket fører til nye geometriske muligheder.

• Opdagelsen: Haga fandt ud af, at hvis man vælger punktet $P$ strategisk (for eksempel i midtpunktet), kan man bruge dette til effektivt at finde flere punkter på papiret, der ellers ville kræve avancerede geometriske konstruktioner. Dette anvendes ofte til at konstruere specifikke rektangler inde i kvadratet på en praktisk og elegant måde.

3. Hagas tredje teorem (Haga's Third Theorem)

Dette teorem er det mest komplekse af de tre og kaldes ofte "Hagas fold til midtpunktet", da det involverer en mere indviklet proces.

• Handlingen: Placer det nederste højre hjørne på midtpunktet af en linje, der går vertikalt gennem midten af papiret. Dette krav er essentielt for at sikre korrekthed i processen.

• Geometrien: Ved at bringe et hjørne ind til midteraksen skaber man en interessant serie af overlappende områder, der giver ny indsigt i papirets struktur.

• Opdagelsen: Dette teorem beviser, at man kan ramme ethvert rationelt punkt på papirets overflade ved blot at gentage processen. Det er det teoretiske bevis for, at origami-matematik er "komplet" – man kan i teorien folde sig frem til enhver brøkdel, uanset hvor lille den måtte være, hvilket er en fascinerende opdagelse.

Opsamling

Hagas teoremer er smukke, fordi de viser, at et kvadratisk stykke papir indeholder sit eget koordinatsystem, hvilket er en tankevækkende anmeldelse af geometri.

• Teorem 1: Finder effektivt punkter på kanterne (division) af det foldede papir.

• Teorem 2: Finder afgørende vinkler og linjer gennem udvalgte punkter.

• Teorem 3: Beviser, at alle punkter kan findes (koordinatsystemet) ved hjælp af gentagne foldeprocesser.

Kazuo Haga

Kazuo Haga (født 1934) er en anerkendt japansk professor i biologi og en central skikkelse inden for origami, berømt som en af grundlæggerne af origamics—a fusion of origami and mathematics.

Mens mange matematikere fokuserer på de færdige modeller, retter Haga opmærksomheden mod de geometriske mønstre og matematiske sandheder, der opstår i papiret under folding. Han har formuleret tre vigtige teoremer, hvoraf "Hagas første teorem" er det mest kendte.

Hagas første teorem: Teorien

Teoremet bygger på et kvadratisk stykke papir. Ved at placere det nederste venstre hjørne på et vilkårligt punkt $P$ langs den øverste kant, vil de resterende folder resultere i tre retvinklede trekanter, som alle er enestående proportionelle (ligedannede).

Hvis vi betegner papirets sidelængde som 1, og placerer punktet P i en afstand $x$ fra det øverste venstre hjørne, kan vi anvende Pythagoras til nøjagtigt at beregne, hvor de øvrige folder rammer papirets kant.

Eksempler på papirdeling Den mest praktiske anvendelse af Hagas teorem er at finde præcise punkter på en side. Her præsenteres to klassiske eksempler:

1. Sådan finder du ⅓ (Den magiske midte) Dette er det mest berømte eksempel.

• Handling: Markér midtpunktet på den øverste kant af papiret (ved forsigtigt at folde det og lave et lille mærke).

• Fold: Tag det nederste højre hjørne og bring det op, så det præcist rører ved midtpunktet på den øverste kant.

• Resultat: Det punkt, hvor papirets venstre kant krydses af det foldede papir, markerer præcist ⅓ nede fra toppen.

2. Sådan finder du ⅕ Hvis du allerede har fundet en tredjedel med den ovenstående metode, kan du bruge dette punkt som din nye "guide".

• Handling: Placer punktet P (det nederste hjørne) ved ⅓-mærket på den øverste kant.

• Resultat: Ved hjælp af Hagas matematiske formel y = (1 - x²) / 2, vil den resulterende krydsning på siden give dig brøker som ⅕.

Matematikken bag Hvis vi lader x repræsentere afstanden fra det øverste venstre hjørne til det punkt, hvor vi placerer hjørnet, vil afstanden y fra toppen ned til det punkt, hvor folden rammer papirets side, altid være:

y = (1 - x²) / 2

Hvis x = ½ (midten), bliver y = (1 - (½)²) / 2 = (1 - ¼) / 2 = (¾) / 2 = ⅜.

Selvom y er ⅜, viser Hagas teorem, at andre segmenter af folden skærer kanterne præcist ved ⅓.

Det vidunderlige ved Hagas metoder er, at de er selvkorrigerende. Det repræsenterer en "ren" form for geometri, hvor papiret i sig selv besvarer de matematiske ligninger.

Gratis plakat: